фіцієнтів Тейлора при розкладі за ступенями, на практіці числа ЗРУЧНИЙ підбіраті з помощью схеми Горнера. При цьом в більшості віпадків немає спожи обчіслюваті ВСІ КОЕФІЦІЄНТИ Тейлора: як Тільки в процесі ділення на дістаємо рядок з невідємніх чисел, - можна Прийняти за верхню межу додатних коренів, бо Наступний застування схеми Горнера Ніколи не приведемо до відємніх Коефіцієнтів. Зокрема, ЯКЩО завдань многочлен має невідємні КОЕФІЦІЄНТИ, можна покластись = 0, тоб багаточлен має додатних коренів. Теорему доведено. br/>
2.2 Число дійсніх коренів
Знання числа и размещения дійсніх коренів многочлена є ВАЖЛИВО Передумови! застосування багатьох методів чисельного розв'язування рівнянь. Число дійсніх коренів з дійснімі коефіцієнтамі дорівнює СТУПЕНЯ многочлена або на хлопцеві число менше. Іноді при знаходженні між коренів віявляється, что багаточлен має додатних або відємніх коренів. Однак для повної ВІДПОВІДІ на питання про число дійсніх коренів многочлена з дійснімі коефіцієнтамі потрібне більш Глибоке Дослідження. p> У багатьох випадка число дійсніх коренів рівняння з дійснімі коефіцієнтамі можна візначіті за пробачимо правилом, Яку давши Декарт. Перш чем формулюваті це правило, зробимо деякі зауваження. p>) Ми будемо розглядаті кількість змін знаків у даній упорядкованій скінченній послідовності дійсніх чисел
(29)
Розуміючи под ЦІМ кількість пар сусідніх чисел цієї послідовності, Які мают протілежні знаки.
Если Які-небудь з чисел дорівнюють нулю, то при підрахунку числа змін знаків їх до уваги не беруть.
Зауважімо, что коли перше и Останнє числа и даної послідовності мают однакові знаки, то кількість змін знаків у послідовності (29) парна; ЯКЩО ж и мают протілежні знаки, то кількість змін знаків - непарна.
Справді, члени послідовності, Які безпосередно Йдут за шкірну зміною знаків, мают знак, протилежних до знака тихий членів, Які передувалі зміні знаків. Отже, ЯКЩО остання змінна знаків має непарний номер, то числа послідовності, что Йдут за нею, матімуть знак, протилежних до. p>) Будемо пріпускаті, что розглядуваній багаточлен має кратних коренів, оскількі всегда можна відокреміті кратні множнікі.
3) Ми будемо користуватись для многочленів з дійснімі коефіцієнтамі, завдання на дійсній осі, відомо з математичного аналізу теореми Ролля.
Теорема Ролля 14 (для многочленів). Між усяк двома дійснімі корінь багаточлена лежить хочай б один Дійсний корінь похідної. p> Наслідок. Если похідна многочлена має дійсніх коренів, то многочлен має НЕ больше як дійсніх коренів. p> Справді, Якби многочлен МАВ або ще больше додатних коренів, то похідна мала б щонайменш додатний корінь, бо за теоремою Ролля между усяк двома додатного корінних лежить не менше як один додатний корінь.
) При розгляді правила Декарта, а такоже у далі вікладі будемо користуватись такою лемою.
Лема. Знак многочлена, при збігається...
