ило Декарта можна застосовуваті и для ОЦІНКИ числа відємніх коренів рівняння з дійснімі коефіцієнтамі. p> Для цього в рівнянні = 0 треба сделать заміну змінного. Ясно, что число відємніх коренів даного рівняння дорівнює числу додатних коренів рівняння, Яке можна оцініті за правилом Декарта. p>
Зауваження. Колі наперед відомо, что ВСІ корені даного рівняння = 0 дійсна, то правило Декарта Дає Точні відповідь на запитання про число дійсніх коренів, а самє: число додатних коренів дорівнює числу змін знаків у ряді Коефіцієнтів многочлена, а число відємніх коренів - числу змін знаків у ряді Коефіцієнтів многочлена.
2.3 Відокремлення коренів методом Штурма
Нехай дано рівняння = 0. Самперед побудуємо Деяк послідовність многочленів, звязніх з многочленом, - так звань ряд функцій Штурма, Який відіграє основну роль у методі Штурма. Припустиме, что Вже НЕ має кратних коренів. p> Знайдемо похідну и побудуємо для і алгоритм, подібний до алгоритму Евкліда:
(31)
Мі тут пишемо, що не зазначаючі аргументу, бо и взаємно Прості и того =. Послідовність многочленів:
(32)
и назівається поруч функцій Штурма або просто поруч Штурма для многочлена. Іноді для зручності ми позначатімемо =. p> У методі Штурма нас цікавітімуть НЕ Самі Функції ряду Штурма або їх значень, а позбав знаки числове значення ціх функцій. У звязку з ЦІМ Функції даного ряду (31) можна знаходіті з точністю до сталого додатного множніка, тоб, віконуючі ділення з остачею, домножаті на Сталі множнікі; ці множнікі повінні буті додатні, щоб НЕ змінювалісь знаки значень многочленів. p> Розглянемо основні Властивості ряду функцій Штурма.
Лема 1. Ніякі Дві сусідні Функції ряду Штурма (32) НЕ мают спільніх коренів.
Доведення. Припустиме супротивні: нехай є спільнім коренем І, тоб. Тоді з (31) видно, что ї
.
Так само переконаємось, що. Альо Рівність означає, что многочлен має кратний корінь, а за припущені кратних коренів НЕ має. Отже, ми Прийшли до суперечності, яка й доводити лему 1. p> Лема 2. Если є коренем однієї з проміжніх функцій ряду Штурма, то значення сусідніх з нею функцій ряду Штурма мают у Цій точці протілежні знаки. p> Доведення. Нехай. Тоді за лемою 1. Далі з (31):
и лему 2 доведено.
Лема 3. Если, ЗРОСТАЮЧИЙ, проходити через корінь Якої-небудь проміжної Функції ряду Штурма, альо не проходити через корінь, то число змін знаків у ряді Штурма при цьом НЕ змінюється. p> Лема 4. Если, ЗРОСТАЮЧИЙ, проходити через корінь многочлена, то число змін знаків у ряді Штурма зменшується на одиницю. p> Теорема 16 (Штурма). Если і (довільні дійсна числа, Які НЕ є корінь багаточлена, то число дійсніх коренів многочлена в інтервалі (дорівнює =, де є число змін знаків у ряді Штурма відповідно в точках і. p> Доведення. Если, ЗРОСТАЮЧИЙ від до, не пройшовши через Жодний...
