дрізку, дифференцируема у всіх його внутрішніх точках, а на кінцях відрізка, звертається в нуль, то існує, принаймні, одна точка, в якій. p> Доказ. Так як функція неперервна на відрізку, то, відповідно до властивості 11.1.1, вона повинна досягати хоча б один раз на цьому відрізку свого мінімуму і максимуму (рис. 1.1). p> Якщо, функція постійна, то є. Але в цьому випадку для будь-кого. p> У загальному випадку, і хоча б одне з цих чисел не дорівнює нулю. Припустимо для визначеності, що. Тоді існує точка, в якій. br/>В
Так як розглядається значення є максимальним, то для нього справедливо, що для і.
Розглянемо межі
для
і
для.
математика теорема ферма Лагранж
Оскільки обидва межі дорівнюють похідної функції в одній і тій же точці, то вони рівні між собою. Значить, з одночасності і випливає, що, що й потрібно було довести. p> Слід зазначити, що дана теорема справедлива і в тому випадку, коли на кінцях відрізка функція не звертається до нуль, але приймає рівні значення. Доказ проводиться аналогічно. p> Геометричний сенс даної теореми наступний: якщо безперервна крива перетинає вісь у двох точках, або бере в них рівні значення, те, принаймні, в одній точці між і дотична до кривої паралельна вісі.
Необхідно відзначити, що якщо не в усіх точках у розглянутої функції існує похідна, то теорема може не виконуватися. Це стосується, наприклад, функції (рис. 1.2):
В
Рис. 1.2
Дана функція неперервна на відрізку і звертається в нуль на його кінцях, але ні в одній точці всередині відрізка похідна не дорівнює нулю.
3. Теорема Лагранжа
Жозеф Луї Лагранж (Lagrange) (25.1.1736, Турін, - 10.4.1813, Париж), французький математик і механік, член Паризької АН (1772). Народився в родині збіднілого чиновника. Самостійно вивчав математику. У 19 років Лагранж вже став професором в артилерійській школі Туріну. У 1759 році обраний членом Берлінської АН, а в 1766-1787 роках був її президентом. У 1787 році Лагранж переїхав до Парижа; з 1795 року професор Нормальної школи, з 1797 року - Політехнічної школи. p> Найбільш важливі праці Лагранжа відносяться до варіаційного числення, до аналітичної і теоретичної механіки. Спираючись на результати, отримані Ейлером, він розробив основні поняття варіаційного обчислення і запропонував загальний аналітичний метод (метод варіацій) для вирішення варіаційних завдань. У класичному трактаті "Аналітична механіка" (1788, російський переклад, т. 1-2, 2 видавництва., 1950) Лагранж в основу всієї статики поклав "загальну формулу", що є принципом можливих переміщень, а в основу всієї динаміки - " ; загальну формулу ", що є поєднанням принципу можливих переміщень з принципом Д'Аламбера (принцип Д'Аламбера - Лагранжа). З "загальної формули" динаміки може бути отримана, як окремий випадок, "загальна формула" статики. Лагранж ввів узагальнені координати і надав рівн...
