янням руху форму, звану його ім'ям (рівняння Лагранжа). p> Лагранж прагнув встановити "прості" і "загальні" принципи механіки. При цьому виходив з характерних для прогресивних вчених 18 століття уявлень, що тільки такі принципи можуть бути істинними, відповідними об'єктивної реальності. p> Лагранжу належать також видатні дослідження з різних питань математичного аналізу (формула залишкового члена ряду Тейлора, формула кінцевих збільшень, теорія умовних екстремумів), теорії чисел, алгебрі (симетричною функції коренів рівняння, теорія і додатки безперервних дробів), з диференціальних рівнянь ( теорія особливих рішень, метод варіації постійних), по інтерполяції, математичної картографії, астрономії тощо [4, с. 328]
Результати теореми Ролля використовуються при розгляді наступної теореми про середню, що належить Лагранжу.
Теорема. Якщо функція неперервна на відрізку і дифференцируема у всіх його внутрішніх точках, то існує, принаймні, одна точка, в якій
.
Доказ. Розглянемо графік функції (рис. 2.1). p> Проведемо хорду, що сполучає точки і, і запишемо її рівняння. Скориставшись рівнянням прямої, що проходить через дві точки на площині, одержимо:
,
звідки:
В
Рис. 2.1
і.
Складемо тепер допоміжну функцію, вирахувавши з рівняння кривої рівняння хорди:
.
Отримана функція неперервна на відрізку і дифференцируема у всіх його внутрішніх точках. Крім того, обчислення в точках і показує, що. Значить, функція на відрізку задовольняє вимогам теореми Ролля. Але в цьому випадку існує така точка, в якій. p> Обчислимо похідну функції:
.
Згідно з теоремою Ролля в точці похідна, тобто
В
,
що й потрібно було довести.
Геометричний сенс теореми Лагранжа наступний: всередині відрізка існує, принаймні, одна точка, в якій дотична паралельна хорді, стягивающей криву на даному відрізку. Зокрема, при теорема переходить в теорему Ролля. p> Теорему Лагранжа часто записують у наступному вигляді:
,
тобто приріст функції одно приросту аргументу, помноженому на похідну функції в деякій внутрішній точці. У зв'язку з цим теорему Лагранжа називають також теоремою про кінцевих збільшеннях. br/>
4. Теорема Коші
Огюстен Луї Коші (Cauchy) (21.8. 1789, Париж, - 23.5.1857, З), французький математик, член Паризької АН (1816). Закінчив Політехнічну школу (1807) і Школу мостів і доріг (1810) в Парижі. У 1810-13 роках працював інженером у м. Шербур. У 1816-30 роках викладав в Політехнічній школі і Коллеж де Франс. З 1848 року в Паризькому університеті і в Колеж де Франс. p> Роботи Коші відносяться до різних областей математики (переважно до математичного аналізу) і математичної фізики. Його курси аналізу ("Курс аналізу", 1821, "Резюме лекцій по підрахунку нескінченно малих", 1823, "Лекції по додат...
