исний мінор, Перші r рядків матріці А 'лінійно незалежні, а Другие ее рядки - лінійні комбінації дерло r рядків. Це означає, что в Системі (1) Перші r рівнянь незалежні, а Другие (m - r) ее рівнянь - їх Наслідки. Тому й достатньо розв язати систему, яка Складається з r дерло рівнянь:
В
Зрозуміло, что r? n. Розглянемо два випадка. p align="justify"> Нехай r = n. Тоді маємо систему, в Якої число рівнянь дорівнює числу невідоміх, причому Визначник цієї системи ? ? 0. Така система має єдиний розв язок, Який можна найти за формулами Крамера, або за методом Гаусса.
Нехай r
В
Оскількі Визначник ? ? 0, то з цієї системи можна найти (або за формулами Крамера, або за методом Гауса) Невідомі x1, x2, ..., xr, віражені через xr +1, xr +2, ..., xn. Перші назіваються головні (базисні), другі - вільнімі (параметрично).
Надаючі вільним невідомім довільніх значень, отрімуємо відповідні Значення Головня невідоміх. Отже, у розглядуваному випадка система має нескінченну множини розв язків, чім и закінчується доведення достатності теореми.
Доведемо необхідність умови теореми. p align="justify"> Нехай система (1) Сумісна и x1 = ? 1, x2 =? 2, ..., xn =? n - ее розв язок. Тоді
В
Звідки віпліває, что стовпець вільніх членів розшіреної матріці є лінійною комбінацією других ее стовпців, тоб стовпців матріці А. Тому r1? r. Альо з Іншого боці, оскількі r? r1, то r = r1, что ї треба Було довести.
1.8 Однорідні системи лінійніх рівнянь
Розглянемо систему m лінійніх рівнянь з n невідомімі
В
Така система всегда Сумісна, оскількі ее розв язком буде x1 = ... = xn = 0, что назівається трівіальнім.
Нехай ранг А = r и базисних мінор цієї матріці для певності розміщеній у ее лівому Верхньому кутку. Тоді можна Залишити в Системі Перші r рівнянь:
В
Розглянемо два випадка:
Нехай r = n. Тоді маємо систему, в Якої число рівнянь дорівнює числу невідоміх, причому Визначник цієї системи ? ? 0. З теореми Крамера у цьом разі віпліває, что система має Тільки трівіальній розв язок.
Нехай r
В
Оскількі Визначник
