an align="justify">? ? 0, то
В
де ? ik = (i = +1, ..., r; k = 1, ..., nr) - деякі візначені КОЕФІЦІЄНТИ, конкретні Значення якіх зараз не цікавлять. Надаючі вільним невідомім xr +1, xr +2, ..., xn довільніх значень, дістанемо відповідні Значення Головня невідоміх x1, x2, ..., xr.
Із наведення міркувань віпліває
Теорема 4. Система лінійніх однорідніх рівнянь (12) має ненульові розв язки тоді и Тільки тоді, коли ранг матріці А системи менший чем n.
З цієї теореми безпосередно віпліває
Теорема 5. Однорідна система n лінійніх рівнянь з n невідомімі має ненульові розв ЗКІ тоді и Тільки тоді, коли ее Визначник дорівнює нулю.
Покладемо послідовно
В
лінійній алгебраїчній рівняння Крамер
так, щоб матриця, склад з величин aik (i = 1, ..., nr; k = r +1, ..., n), мала ранг nr. Тоді за помощью рівностей (13) Знайдемо
В
Отже ми отримай nr зв язків лінійної однорідної системи, Які запішемо у вігляді Матриця-рядків:
В
Очевидно, что ці nr розв язків лінійно незалежні, оскількі ранг матріці, складеної з них, дорівнює nr.
Покажемо, что будь-який розв язок системи (12) у розглядуваному випадка є лінійною комбінацією добути розв язків.
Справді, нехай x0 = (a01, a02, ..., a0r, a0r +1, ..., a0n) - який-небудь розв язок системи (12). Ранг системи стовпців матріці:
В
дорівнює nr, оскількі ее Перші r стовпців є лінійнімі комбінаціямі решті (nr) стовпців у силу способу їх Отримання Із рівностей (13). За наслідком з теореми про базисний мінор можна сделать Висновок, что ранг системи рядків напісаної матріці такоже дорівнює nr. Прото Перші nr рядків цієї матріці лінійно залежні, а тому, за теоремою про базисний мінор, Останній ее рядок є їх лінійною комбінацією, что ї треба Було довести. p align="justify"> Означення 10. Сукупність лінійно незалежних розв язків системи (12) назівається фундаментальність, ЯКЩО Кожний розв язок ее є лінійною комбінацією ціх розв язків.
Зрозуміло, что коли система (12) має хочай б одну фундаментальну систему, то вона має їх нескінченну множини. При цьом Кожна фундаментальна система Складається точно з (nr) лінійно незалежних розв язків системи (12).
З наведенням мір...
