>
x1 (a11A11 + a21A21 + ... + an1An1) + x2 (a12A12 + a22A22 + ... + an2An2) + ... + xn (a1nA1n + a2nA2n + ... + annAnn) = b1A11 + b2A21 + ... + bnAn1 . (9)
У рівнянні (9) КОЕФІЦІЄНТИ при всех невідоміх, крім коефіцієнта при x1, Який дорівнює Визначник системи ?, дорівнюють нулю. Права частина рівняння становіть розкладання Визначник ? за елементами Першого стовпця, тоб дорівнює Визначник ? 1. Отже, рівняння (9) можна записатися у вігляді:
? ? x1 =? 1. (10)
Аналогічно дістанемо рівняння
? ? x2 =? 2,? ? x3 =? 3, ...,? ? xn =? n. (11)
Система рівнянь (10), (11) добути з системи (7) i є ее наслідком.
З системи рівнянь (10), (11) віплівають рівняння (7), оскількі за умів ? ? 0. Справді, помножити рівняння (10) на a11, перше рівняння (11) - на a12, ..., n-і - на А1N и Дода ВСІ утворені рівняння, дістанемо
? (a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn) = b1 (a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n) + b2 (a11A21 + a12A22 + + ... + a1nA2n) + ... + bn (a11An1 + a12An2 + ... + a1nAnn).
У цьом рівнянні дорівнюють нулю КОЕФІЦІЄНТИ при всех вільніх членах системи (7), крім коефіцієнта при b1, Який дорівнює ?. После СКОРОЧЕННЯ на ?, отрімаємо перше рівняння системи (7). Аналогічно можна дістаті ї ВСІ Другие рівняння цієї системи.
Отже, система рівнянь (7) тотожня Системі рівнянь (10), (11). Оскількі остання має єдиний розв язок (8), то ВІН є такоже Єдиним розв язком системи (7).
Теорему доведено.
1.7 Теорема Кронекера-Капеллі
Теорема 3 (Кронекера - Капеллі). Для того, щоб система (1) булу сумісною, звітність, ї Достатньо, щоб ранг матріці А (r) дорівнював рангу розшіреної матріці А '(r1). p align="justify"> Доведення. Доведемо спочатку достатність умови теореми. p align="justify"> Нехай r = r1. Припустиме, что базисних мінор матріці А розміщеній у лівому Верхньому куті:
В
Згідно з теоремою про баз...
