орінь рівняння при а? 1. br/>
Трігонометрічні рівняння з параметрами
Більшість трігонометрічніх рівнянь з параметрами зводіться до розв язування найпростішіх трігонометрічніх рівнянь трьох тіпів. За позитивного решение таких рівнянь звітність, враховуваті обмеженість трігонометрічніх функцій у = sin x и y = cos x. Розглянемо приклад:
Приклад. Розвяжіть рівняння: cos = 2а. p> Розв `язання
Так як Е (соs t) = [-1; 1], то маємо два випадка:
. При | a |> 0,5 рівняння НЕ має розвязків. p>. При | a |? 0,5 ​​маємо:
а) = arccos2a +2? n. Оскількі рівняння має розвязок, ЯКЩО arccos2а +2? N? 0, то n может прійматі Значення n = 0, 1, 2, 3, .... Розвязка рівняння є х = 1 + (2? N + аrссоs2а) 2
б) =-аrссоs2а +? n. Оскількі рівняння має розвязок за умови, що-аrссоs2а +2? N> 0, то n = 1, 2, 3, ..., и розвязок рівняння. х = 1 + (2? n-arccos2a) 2.
Відповідь. Если | a |> 0,5, розвязків немає;
ЯКЩО | a |? 0,5, х = +1 + (2? N + аrссоs2а) 2 при n = 0, 1, 2,. і х = 1 + (2? n-arccos 2 a) 2 при n N. p> Приклад. Розвяжіть рівняння: tg ax2 =
Розв `язання
ах 2 = +? n, n Z
Если коефіцієнт при невідомому поклади від параметру, то з'являється особливе значення параметра. У даним випадка:
. Если а = 0, то рівняння НЕ має розвязків. p>. Если а 0, то х2 =, n Z
Рівняння має розвязок, ЯКЩО? 0. З'ясуємо, за якіх значень n и а віконується ця Умова:
? 0
Звідки n? і а> 0 або n? і а <0.
Отже, рівняння має розвязок х = В±, ЯКЩО
) а> 0 і n = 1,2,3, ... або
) а <0 і n Z.
Відповідь. При а = 0 розвязків нема;
при а> 0 і n = 1,2,3, ... або а <0 і n Z х = В±.
Приклад. Розвяжіть рівняння: а sin bx = +1
Розв `язання
Особливе значення параметра а: а = 0.
При а = 0 розвязків нема.
При а 0 sin b x =. Маємо 2 випадка:
.1. Если> 1, то розвязків нема. p> .2. Если? 1, то особливі Значення b = 0:
.2.1. Если b = 0, то розвязків нема. p> .2.2. Если b 0, то х =
Відповідь: при а = 0 або> 1 і а 0 або а 0 b = 0 розвязків нема;
при а 0 и? 1 і b 0 х =
Показнікові рівняння з параметрами
багатая показникових рівнянь з параметрами зводяться до елементарних Показове рівнянь увазі а f (x) = b? (х) (*), де а> 0, b> 0.
області допустимих значень такого рівняння перебуває як перетин областей допустимих значень функцій f (x) i? (Х). Для розвязка рівняння (*) треба Розглянуто наступні випадка:
При а = b = 1 розвязка рівняння (*) є область его допустимих значень D.
При а = 1, b? 1 розвязка рівняння (*) служити решение рівняння? (Х) = 0 на области допустимих значень D.
При а? 1, b = 1 розвязка рівняння (*) знаходится як розв'язок рівняння f (x) = 0 на области D.
При а = b (а> 0,...
