х рівнянь і нерівностей має вигляд: В
Це її матрична запис., яка є більш зручною.
Так само нехай існують рішення даної системи, тобто і число .
Тоді два рішення цієї системи можна записати так:
В
У силу лінійності кожного рівняння довільна системи лінійних рівнянь і нерівностей маємо:
В
Об'єднуючи дві системи, отримаємо:
В
У силу дистрибутивности властивостей множення матриць рівняння переписується у вигляді:
В
Тобто при заданих рішеннях довільної системи лінійних рівнянь і нерівностей і числі вектор - теж рішення.
Звідси випливає опуклість множини Х - рішень довільної системи лінійних рівнянь і нерівностей.
5. Дослідження функції на опуклість
Постановка завдання:
Показати, що твір опуклих функцій необов'язково опукло. Чи існують підкласи опуклих функцій, замкнуті по відношенню до множення? p align="justify"> Теоретичні відомості:
Визначення 5.1
Функція де - опукле безліч, називається опуклою функцією на цій множині, якщо
В
Теорема 5.1
Нехай функція визначена на інтервалі і -деяка точка цього інтервалу. При всіх визначено різницеве ​​відношення - функція:
В
Тоді функція опукла на інтервалі в тому і тільки тому випадку, коли функція
не убуває на безлічі .
Теорема 5.2
Нехай функція диференційовна на інтервалі і , при всіх .
Тоді зростає на . Якщо ж при всіх , то не убуває на < span align = "justify">.
Аналогічно, якщо , при всіх , то убуває на , а якщо , при всіх , то не збільшується на .
