span>
Теорема 5.3
Нехай функція має на похідну . Функція опукла на тоді і тільки тоді, коли похідна не убуває на .
Зауваження 5.1
диференційовних функцій увігнута на інтервалі тоді і тільки тоді, коли її похідна не збільшується.
Якщо функція має в усіх точках інтервалу другу похідну , то для дослідження опуклості можна скористатися наступним твердженням.
Теорема 5.4
Нехай на інтервалі функція має другу похідну . Функція опукла на тоді і тільки тоді, коли , при всіх , і увігнута тоді і тільки тоді, коли при всіх .
Рішення:
Згідно з теоремою 5.4, якщо функція опукла і має другу похідну, то: при всіх.
Наприклад візьмемо опуклі функції, а їх добуток вже не буде опуклою функцією: так як Це наочно представлено на малюнку:
В
Щоб твір функцій було опукло, потрібно що функції належали до підкласу опуклі невід'ємні неубутною функції.
Тоді їх твір буде позитивно:
В
Похідна твори не убуває:
В
В
6. Дослідження функції на яружно
Постановка завдання:
Потрібно дослідити на яружно функцію:
В
Теоретичні відомості:
Визначення 6.1
Матрицею Гессе двічі диференційованою в точці функції називається матриця приватних
похідних другого порядку, обчислюваних в даній точці:
В
Визначення 6.2
Власні значення матриці розміру знаходяться як корені характеристичного рівняння (алгебраїчного рівняння n-го ступеня):
В
Визначення 6.3
Нехай обмежена знизу функція:
В
має ту особливість, що в досліджуваній області власні значення матриці Гессе, впорядковані
в будь-якій точці, задовольняють нерівності:
В
У цьому випадку поверхні рівня мають структуру, що сильно відрізняється від сферичної.
Такі функції називаються яружно.
Визначення 6.4
Ступінь яружно характеризується числом:
В
Зазвичай при k> 10 функція набуває яружну структуру.
Визначення 6.5
Якщо власні значення матриці Гессе задовольняють нерівності:
В
а ставлення:
В
...
