хай AD - бісектриса прямокутного трикутника АВС). Точка О - точка перетину медіан. Тоді за умовою задачі.
По властивості медіан.
За теоремою Фалеса.
Так як AD - бісектриса, то. Отже,.
Так як гіпотенуза АВ в два рази більше катета АС, то. Отже,.
Відповідь: 300; 600.
Завдання 3. У рівнобедрений трикутник АВС з основою АС вписане коло з центром О. Луч АО перетинає сторону ВС у точці К, причому,. Знайдіть периметр трикутника АВС.
Так як О - центр вписаного кола, то АК - бісектриса трикутника АВС (Рісунок. 2.18). Тоді. Маємо,.
.
Відповідь: 45.
Завдання 4. Знайдіть сторони трикутника, якщо медіана і висота, проведені з одного кута, ділять його на три рівні частини, а довжина медіани дорівнює 10.
Р е ш е н і е. Нехай СN - медіана, а СК - висота (Рісунок. 2.19). Так як СК - висота і бісектриса, то трикутник CNB рівнобедрений, отже, і.
, отже,.
CN - бісектриса в трикутнику АСК, отже,
Трикутник - прямокутний, тому,,,,.
Відповідь:.
Довжина бісектриси
Ключове завдання:
. Довжину бісектриси можна обчислити за формулою: la =, де la - довжина бісектриси, проведеної з кутка A трикутника ABC,? =BAC, b, a - довжини сторін трикутника.
Нехай площу? АВС дорівнює S, а площа? АBD і? CAD рівні відповідно S 1 і S 2 (Рісунок. 2.20).
Тоді S=S 1 + S 2,
звідки,
Враховуючи, що
отримаємо
.
2 . Довжину бісектриси можна обчислити за формулою:, де - довжина бісектриси, проведеної з кутка A трикутника ABC, -
відрізки, на які бісектриса ділить сторону BC, b, a - довжини сторін трикутника.
Застосуємо теорему косинусів до? BAD і? CAD, отримаємо
Помножимо перше рівність на CD, а друге - на BD і складемо ці рівності
AB 2? СD + AC 2? BD=BD 2? CD + CD 2? DB + AD 2? (BC + DC) (1).
Так як бісектриса кута трикутника ділить сторону, протилежну цьому куту, на частини, пропорційні прилеглим сторонам, то
,
звідки
,.
Підставами ці вирази в ліву частину рівності (1), отримаємо
або
звідки
Висновок
навчання школяр геометрія бісектриса
Аналіз використання методу ключових завдань у навчанні показує, що такий підхід дає можливість ліквідувати як перевантаження учнів (вирішується менше число завдань, менше їх задається додому, заздалегідь відомо, які типи завдань підлягають опитуванню), але і суттєво полегшує працю вчителя з планування уроків, перевірці знань учнів.
На закінчення відзначимо, що ефективність уроку залежить від:
) знання вчителем складу завдань по темі і методів їх вирішення;
) володіння методами виділення ключових завдань і вмілої їх реалізації;
) відсутності формалізму у вимогах з оволодіння вміннями вирішувати к...
