p align="justify"> Таким чином,
Отримані ряди сходяться на всій числовій осі і визначають два лінійно незалежних приватних рішення вихідного рівняння.
Приклад 2.4. Знайти перші чотири члена розкладання в степеневий ряд розв'язку задачі Коші [14].
Видно, що функція разложима в ряд Тейлора по змінним і в околиці точки і цей ряд сходиться на всій площині
Шукаємо рішення задачі у вигляді
(2.3)
З умови знаходимо
Диференціюючи це рівняння як тотожність щодо шуканого рішення і вважаючи знаходимо
Підставляючи в ряд (2.3) знайдені значення отримуємо шукане рішення з вказаною точністю:
2.3 Приклади інтегрування в Maple
Для знаходження аналітичних рішень диференціальних рівнянь в Maple застосовується команда dsolve (eq, var, options), де eq - диференціальне рівняння, var - невідомі функції, options - параметри. Параметри можуть вказувати метод розв'язання задачі, наприклад, за замовчуванням шукається аналітичне рішення: type=exact. При складанні диференціальних рівнянь для позначення похідної застосовується команда diff, наприклад, диференціальне рівняння записується у вигляді: diff (y (x), x $ 2) + y (x)=x.
Щоб знайти наближене рішення диференціального рівняння у вигляді степеневого ряду, в команді dsolve слід після змінних вказати параметр type=series (або просто series). Для того, щоб вказати порядок розкладання, тобто порядок ступеня, до якої виробляється розкладання, слід перед командою dsolve вставити визначення порядку за допомогою команди Order:=n.
Якщо шукається спільне рішення диференціального рівняння у вигляді розкладання в степеневий ряд, то коефіцієнти при ступенях знайденого розкладання будуть містити невідомі значення функції в нулі та її похідних і т.д. Отримане в рядку виводу вираз буде мати вигляд, схожий на розкладання шуканого рішення в ряд Маклорена, але з іншими коефіцієнтами при ступенях. Для виділення приватного рішення слід задати початкові умови і т.д., причому кількість цих початкових умов повинне збігатися з порядком відповідного диференціального рівняння.
Розкладання в статечної ряд має тип series, тому для подальшої роботи з цим рядом його слід перетворити на поліном за допомогою команди convert (%, polynom), а потім виділити праву частину отриманого виразу командою rhs (%) [15].
Приклад 2.5. Знайти рішення диференціального рівняння у вигляді розкладання в степеневий ряд до 4-го порядку. Знайти розкладання при початкових умовах: [16].
> restart; Order:=4:
> de:=diff (y (x), x $ 2)-y (x) ^ 3=exp (-x) * cos (x):
> f:=dsolve (de, y (x), series);
Зауваження: в отриманому розкладанні запис D (y) (0) позначає похідну в нулі: Для знаходження частого рішення залишилося задати початкові умови:
> y (0):=1: D (y) (0):=0: f;
Приклад 2.6. Знайти наближене рішення у вигляді статечного ряду до
-го порядку і точне рішення задачі Коші:
Побудувати на одному малюнку графіки точного і наближеного рішень [15].
> restart; Order:=6:
> de:=diff (y (x), x $ 3)-diff (y (x), x)=3 * (2-x ^ 2) * sin (x);
> cond:=y (0)=1, D (y) (0)=1, (D @ @ 2) (y) (0)=1;
> dsolve ({de, cond}, y (x));
> y1:=rhs (%):
> dsolve ({de, cond}, y (x), series);
...
