і.
Насамперед проведемо перетворення подібності
де є лінійний ексцентриситет даного еліпса.
Тоді еліпсу (35) відповідатиме в площині еліпс
(36)
де
лінійний ексцентриситет якого дорівнює 1. При цьому, очевидно, точкам і відповідатимуть точки і.
З теорії конформних перетворень відомо, що підстановка
перетворює еліпс на площині
(37)
з ексцентриситетом 1 в окружність на площині радіуса з центром в; причому якщо, то зовнішня частина еліпса, (37) переходить в зовнішнє ж частина окружності, так що збережеться відповідність точок і. Підберемо радіус так, щоб отожествить еліпси (36) і (37):
Складаючи, знаходимо
Таким чином, шукане перетворення має вигляд
(38)
Взявши вираз комплексного потенціалу течії в площині при обтіканні кругового циліндра потоком, швидкість якого в нескінченності паралельна дійсній осі, т.е.
(39)
швидкість при повинні ще вибрати так, щоб отримати в площині при швидкість; крім того, слід перевірити допущену неявно паралельність в нескінченності течій в площині і.
Перетворення, зворотне перетворення (38), буде неоднозначно
але вимога робить його однозначним. Справді, для точки маємо
і так як ця точка повинна лежати на окружності радіуса, то ми повинні взяти верхній знак
(40)
При цьому ми розуміємо під то значення цього кореня, яке при позитивно.
Комплексний потенціал (39) внаслідок (40) перетвориться до виду
Обчислюючи комплексну швидкість, маємо
звідки видно, що при, а, отже, і, речовинно і притому
Таким чином, шуканий комплексний потенціал при обтіканні еліптичного циліндра (35) поступальним потоком, паралельним великої осі циліндра, буде мати вигляд
(41)
Легко перевірити, що при після розкриття невизначеності виду отримаємо знайдене раніше вираз кругового циліндра.
б) Поперечний обтікання. Якщо швидкість потоку в нескінченності спрямована в позитивну сторону осі (рисунок 12), то відобразивши перетворення
т.е.
зовнішність еліпса
площині на зовнішність кола
площині, ми повинні тільки для комплексного потенціалу течії в площині взяти замість формули (39) формулу
яку отримуємо з виведеною загальної формули враховуючи, що в нескінченно віддалених точках площини швидкість течії спрямована в позитивну сторону осі, маючи деяку величину. Повертаючись до змінної за формулою
отримуємо
звідки знайдеться комплексна швидкість течії в площині
Малюнок 12 Поперечний обтікання
Так як при повинно бути, то отримуємо
Таким чином, шуканий вираз для комплексного потенціалу при поперечному обтіканні еліптичного циліндра має вигляд [24, c. 270]
в) Косое обтікання. Якщо швидкість в нескінченності становить деякий кут з поздовжньою віссю еліпса
то, розкладаючи вектор на складові
. (42)
І розглядаючи косе обтікання як результат складання поздовжнього і поперечного обтікання зі швидкостями і в нескінченно віддалених точках, ми можемо комплексний потенціал такого результуючого течії представити як суму відповідних потенціалів (42) і (43), т.е.
. (43)
Це можливо внаслідок лінійності рівняння Лапласа, якому задовольняє комплексний потенціал
При відсутності циркуляції діючі на циліндр сили при косому обтіканні приводяться до одній парі, момент якої може бути отриманий застосуванням формули,
де є коефіцієнт при в розкладанні в ряд за ступенями. Але в околиці нескінченно видаленої точки
отже,
Тоді
отже,
Замінюючи і їх виразами
отримуємо остаточно, що обертальний момент реакції зникає при поздовжньому і при поперечному обтіканні еліптичного циліндра [24, c. 271].
3.3.3 Обтікання деяких кривих третього порядку
Використовуємо загальні положення про обтікання довільного контуру в наступному конкретному випадку. Нехай протягом описується співвідношенням [12, c. 119]
(44)
де
Конформне перетворення площини в площину (44) переводить прямі площині паралельні осі х, в криві третього порядку площині,. Дійсно, з (44) слід
звідки (малюнок 13) при
(45)
а) б)
