збалансованої)
.
Справедливі рівності
В
.
Рівняння (2) перетворюється на
. (10)
4. Незбалансовані траєкторії Солоу
Як видно з визначення А в реченні 1, всяка збалансована траєкторія є траєкторією Солоу (тобто траєкторією, на якій споживання становить постійну частку випуску). Покажемо, що, навпаки, всяка траєкторія Солоу є асимптотично збалансованою.
На траєкторії Солоу з нормою накопичення
, рівняння (10) приймає вигляд
.
Звідси знаходимо для траєкторії Солоу стаціонарне фазовий стан
В
і темп приросту фазової змінної:
В
Бачимо, що стаціонарне фазовий стан глобально стійко, причому темп приросту зменшується за модулем з наближенням фазової траєкторії к. p> Що ж до самої траєкторії Солоу в змінних
В
то вона є асимптотично збалансованою. Оскільки
В
темп приросту змінюється монотонно і наближається к. p> Помилково вважати (як це роблять Гілфасон і Зоега), що для траєкторії Солоу має місце збіжність до стаціонарного стану по змінній. Змінні ростуть асимптотично різними темпами, за винятком випадку, коли співпадають темпи екзогенних змінних. br/>
5. Траєкторії моделі Рамсея-Каса-Купманса
Сформулюємо задачу пошуку оптимальної траєкторії:
,
В
(2)
,, (1)
,
задані
Застосовуючи принцип максимуму Л.С.Понтрягина, побудуємо гамільтоніан поточного значення
В
і випишемо умови оптимальності
, (11)
, (12)
а також (2).
Умова (11) дає
,
звідси і з (12) випливає, що
В
Зокрема, розглянемо випадок
В
Тоді
В
і ми приходимо до системи диференціальних рівнянь
, (2)
В
При переході до фазовим змінним, ця система перетворюється на
, (10)
.
Стаціонарне фазовий стан одно
,
В
Йому відповідає збалансована траєкторія, для якої
,
її можна назвати збалансованої траєкторією модифікованого золотого правила. p> Матриця Якобі в точці має вигляд
В
Визначник цієї матриці негативний, отже, стаціонарне фазовий стан являє собою седловую точку. Таким чином, оптимальні траєкторії-рішення задачі Рамсея-Каса-Купманса за даних початкових сходяться асимптотично до збалансованої траєкторії модифікованого золотого правила.
Норма накопичення на збалансованої траєкторії модифікованого золотого правила, згідно (9), дорівнює
.
Бачимо, що норма накопичення негативно залежить від норми дисконтування (більше терпляче суспільство зберігає більше) і позитивно пов'язана з темпом зростання.
Норма накопичення та капітал на збалансованій траєкторії модифіковано...
