має нетривіальне рішення ; іншими словами, нехай
В (28)
Розглянемо при тому ж рівняння
В (29)
Це рівняння має незліченну безліч рішень в цілих числах при та ірраціональному, і будь-яке таке його рішенняВ буде:
,В , p> Так як рішення рівняння (29)
.
Рівність (28) у свою чергу може бути переписано у формі
.
Перемножая почленно ці два останні рівності, ми отримуємо
В (30)
Але
В
і абсолютно так само
.
Скориставшись цими двома рівностями, ми можемо переписати рівність (30) у формі
В
або у формі
.
Цим ми довели, що якщо - рішення рівняння (25), то цього рівняння буде задовольняти і пара чисел:
,, (31)
де - будь-яке рішення рівняння (29). Таким чином, ми довели, що якщо рівняння (25) має хоча б одне рішення, то воно має їх незліченна безліч.
Не можна, звичайно, стверджувати, що формулами (31) даються всі рішення рівняння (25). У теорії алгебраїчних чисел доводиться, що всі рішення рівняння (25) у цілих числах можна отримати, взявши деякий кінцеве і певне залежне від і число рішень цього рівняння і розмноживши їх за допомогою формул (31). Рівняння (25) при А негативному або рівному квадрату цілого числа може мати не більше кінцевого числа рішень. Рішення найзагальніших рівнянь другого ступеня з двома невідомими в цілих числах, рівнянь виду
(32)
де числа А, В, С, D, Е і F - цілі, зводиться за допомогою замін змінних до вирішення рівнянь виду (25) з позитивним чи негативним А. Тому характер поведінки рішень, якщо вони існують, такий же, як і у рівняння типу (25). Підводячи підсумок всьому викладеному, ми можемо тепер сказати, що рівняння другого ступеня з двома невідомими типу (32) може не мати рішень в цілих числах, може мати їх тільки в кінцевому числі і, нарешті, може мати нескінченну безліч таких рішень, причому ці рішення беруться тоді з кінцевого числа узагальнених геометричних прогресій, що даються формулами (31). br clear=all>
ПРОГРАМА № 1 (рівняння з однією змінною)
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
n - ступінь многочлена;
a - коефіцієнт при x ;
c - вільний член рівняння;
d - дільник вільного члена;
w - допоміжна змінна
для зведення d в ступінь
аргументу;
x - сума зведених d
в ступінь аргументу
помножених на a
program matan_1;
uses crt;
var i, n, c, j, k, x, w, q, p: integer; a, d: array [1 .....
