льш вірним математично визначенням ймовірності, ніж класичне, є аксіоматичне визначення. Тут події розглядаються як елементи якогось кінцевого або нескінченного безлічі?. Для простоти візьмемо кінцеве безліч? = (W1, w2, ..., wn), де wi це елементи множини?. Це безліч? називають простором елементарних подій, а його елементи wi - елементарними подіями.
Розглядають таке підмножина F (?), яке має властивість? ЄF. Подія? - Порожній безліч позначимо як неможлива подія? ЄF (?). Тоді несумісні події А і В будуть визначатися як
А? В =? br/>
(? - знак об'єднання множин, U - припинення множин)
Тоді якщо? ЄF, для будь-яких подій АЄF і ВЄF вірно наступне співвідношення А? ВЄF, АUВЄF
Така безліч F - називають алгебра подій.
Ймовірністю події А називають таку числову функцію Р (А), визначену на алгебрі подій F, для якої справедливі наступні аксіоми:
. Для будь-якого АЄF вірно Р (А)? 0 - аксіома неотрицательности. p align="justify">. Р (?) = 1 - аксіома нормованості. p align="justify">. Якщо АЄF і ВЄF несумісні (тобто А? В =?), То Р (АUВ) = Р (А) + Р (В) - аксіома адитивності. br/>
7. Формула Бейеса
Нехай ми знаємо ймовірності подій А і В: Р (А) і Р (В). І нехай ми знаємо умовну ймовірність події А по В: Р (A | B). Як знайти умовну ймовірність P (B | A)? На це питання відповідає формула Бейеса. Р (B | A) = P (A | B) В· P (B)/P (A) (1) Зрозуміло цією формулою можна користуватися тільки за умови, що Р (А) 0. Формула Бейеса виводиться з наступних рівностей: Р (ВА) = Р (В | A) В· P (A) (2) Р (AB) = Р (A | B) В· P (B) (3) Р (ВА) = Р (AB) (4) так як перетин подій В і А очевидно не залежить від порядку, в якому записані А і В, тобто ВА = AB. У разі Р (А) = 0 приймаю зазвичай, що Р (В | A) є величина невизначена. 8.Формула повної ймовірності. p align="justify"> Нехай маємо повну групу з n попарно непересічних подій Тобто
, , (6)
Нехай ми знаємо умовні ймовірності деякої події А по Еi: Р (А | Ei) та ймовірності Р (Ei), i = 1, ..., n. Справедлива наступна формула повної ймовірності для події А Р (А) = Р (A | E1) В· P (E1) + ... + P (A | En) В· P (En) (7) Доказ цієї формули випливає з таких рівностей P (A) = P () = P (A (Ei)) = P (AE1) + ... + P (AEn) = Р (A | E1) В· P (E1) + ... + P (A | En) В· P (En) (8) З елементарної формули Бейеса (1) і формули повної ймовірності (7) випливає наступна більш повна формула Бейеса
Р (Еi | A) = P (A | Ei) В· P (Ei)/(Р (A | E1) В· P (E1) + ... + P (A | En) В· P (En)) (9)
8. Повна група подій
Несумісні події - події, настання яких...
