, что rot ?F=0, тоб поле ?F потенційне. Звідсі, для множніка ? маємо рівняння:
Інтегруючі перше рівняння, отрімуємо загальний розв язок:
?=y? (X,?),? =Yz 2.
Підставляючі отриманий Значення ? у одному рівняння, маємо:
Звідки знаходимо
? =X 2? (X 3 y 2 z 4).
?=yx 2? (?),? =X 3 y 2 z 4.
Залішається найти? . Для цього скорістаємося третім рівнянням. Маємо
- 9x 5 y 3 z 4? '(?)=0,
звідсі
? (?)=C.
Таким чином
?=yx 2
(нехай З рівне одініці). Помножити почленно данє рівняння на yx 2, отрімуємо рівняння
x 2 y 2 zdx + 2x 3 yzdy + x 3 y 2 dz=0,
ліва частина Якого є повний діференціал Функції, якові мі Знайдемо вічіслівші кріволінійній інтеграл
Таким чином,
x 3 y 2 z=C
є Шуканов інтеграл даного рівняння.
ЗАВДАННЯ 3
знайте поверхню, что задовольняє рівняння Пфаффа:
Розв язок:
Так як (F rot F)=z + x - y 2? 0, то дане рівняння НЕ может буті проінтегроване одним співвідношенням. Значить, залішається перевіріті, чі буде функція z=y 2 - xy розв язком цього рівняння. Вічіслівші dz=2ydy - xdy - ydx ї підставівші Значення z и dz в рівняння, отрімаємо тотожність. Отже, поверхня
z=y 2 - xy
є Єдиною, яка ортогональна полю F=(z + xy,-z,-z - y 2, y).
Список літератури
1. А. К. Боярчук, Г.П.Головач - диференціальні рівняння в прикладах і задачах. Довідковий посібник з вищої математики. Т. 5 М.: Едіторіал УРСС, 2010. - 384 с.
2. Вісник СамГУ - Природничонаукова серія. 2010. № 2 (76)
3. Дірігівцев А. Я. Математичний аналіз: У 2 ч. - К.: Либідь, 1994.-Ч. І.- 320 с.
4. Диференціальні рівняння / І. 1. Ляшко, О. К. Боярчук, Я. Г. Гай та ін.- К.: Виша шк. Головне вид-во, 1981. - 504 с.
5. Диференціальні рівняння: Підручник / А. М. Самойленко, М. О. Перестюк, І. О. Парасюк.- 2-ге вид., Перероб. І дон.- К.: Либідь, 2007. - 600С.
6. Лаерешок С. / /. Курс диференціальних рівнянь.- Львів: Вид-во паук.-техн. л-ри. 2009. - 216 с.
7. Філіппов А. Ф. - Збірник завдань з диференціальних рівнянь.- К.: НДЦ «Регулярна і хаотична динаміка», 2000, 176 с.
8. Ельсгольція Л.Е.- Диференціальні рівняння і варіаційне числення - М.: Наука, 1969. - 425с.
