корінь, то за лемою 3. Если ж, ЗРОСТАЮЧИЙ, пройде через коренів многочлена, то при проходженні через шкірні корінь число змін знаків зменшуватіметься на одиницю (за лемою 4), так Що буде на одиниць менше, чем, тоб =. Теорему доведено. p> Теорема Штурма дозволяє розв'язувати найрізноманітніші задачі Щодо размещения коренів многочлена на дійсній осі. Розглянемо Дві Такі задачі. p>. За помощью ряду Штурма для довільного многочлена над полем дійсніх чисел можна точно візначіті загальне число дійсніх коренів, а такоже число его додатних и відємніх коренів. Для цього й достатньо застосуваті теорему Штурма до інтервалів, де - межа модуля коренів, бо поза інтервалом многочлен дійсніх коренів НЕ має. p> На практіці, щоб НЕ підставляті чисел у Функції ряду Штурма, вместо інтервалів розглядають інтервалі і. При цьом корістуються лемою відповідно до Якої при знак многочлена візначається знаком его старшого члена. Тому под знаком многочлена В«приВ» розуміють знак его старшого члена при додатного, а под знаком многочлена В«приВ» - знак его старшого члена при відємному. p>. З помощью методу Штурма можна Здійснювати так званні відокремлення дійсніх коренів. Відокремлення коренів Полягає у знаходженні таких інтервалів, у кожному з якіх лежить точно один дійсній корінь многочлена. Ця задача Дуже вважліва, бо більшість набліженого обчислення коренів вімагає їх попередня відокремлення. Практичне Здійснення відокремлення коренів зводяться до підбору потрібніх інтервалів. p>. З помощью ряду Штурма можна найти просту ознакой того, что ВСІ коренів многочлена-го степеня є дійсна Різні числа. Для цього, очевидно, нужно, щоб у ряді Штурма при зростанні від до число змін знаків зменшіть на. У свою черго, для цього самперед нужно, щоб число функцій у ряді Штурма Було не меншим за +1. Оскількі за самою побудова цього ряду воно НЕ может буті більшім за, то у випадка всех дійсніх коренів ряд Штурма Складається точно з функцій, причому Кожна наступна функція цього ряду є многочленом на одиницю нижчих ступенів, чем попередня. Тепер ясно, что ВСІ корені будут дійснімі, ЯКЩО, а. Зрозуміло, то багато має місце тоді и Тільки тоді, коли старші КОЕФІЦІЄНТИ всех функцій Штурма одного знака. Отже, для того щоб ВСІ корені многочлена степеня були дійсна и Різні, звітність, и Достатньо, щоб відповідній ряд Штурма складався з многочленів, старші КОЕФІЦІЄНТИ якіх ВСІ одного и того ж знака. br/>
3. Набліжені методи обчислення коренів
знайте точні Значення коренів рівняння можна позбав для найпростішіх функцій: алгебраїчніх многочленів НЕ Вище четвертого степеня, Деяк многочленів Ступінь І Деяк трансцендентних функцій.
Універсальніх методів для знаходження точних значень коренів алгебраїчніх рівнянь Ступінь І трансцендентних рівнянь НЕ існує. Крім того, розвязуючі практичні задачі, часто дістають рівняння з коефіцієнтамі, Які є набліженімі числами. Тоді постановка задачі знаходження Точні коренів НЕ має смислу. Тому...
