ть просторового обтікання циліндра нескінченної довжини можна розглядати плоске обтікання кругового контура.
Тут при вирішенні завдання ми використовуємо кватерніони до задачі плоского безвихорової обтікання тіл нестисливої ??рідиною. При вирішення завдання використовуємо двовимірний кватерніон так як розглядаємо двовимірну задачу записаний у вигляді 3.1
. (3.1)
Рішення завдання
Рішення нашої задачі складається з двох доданків одне з представлений у вигляді плоскопараллельного протягом, а другий це диполь з центром на початку координат . Отримуємо потенціал складається з двох доданків потенціал представлений формулою 3.2
, (3.2)
де - швидкість спрямована паралельно осі абсцис;
- кватерніон;
- момент диполя.
Знайдемо потенціал в кватернионами формою замість підставляємо (3.1) двовимірний кватерніон і спрощуємо вираз при цьому використовуємо аксіоми кватерниона які дають відміну від комплексних чисел. Використовуємо формулу (1.15) для ділення одиниці на кватерініон. Дії спрощення потенціалу з кватернионами бачимо у формулі 3.3
. (3.3)
Випишемо кінцевий результат після спрощення та приведення подібних при цьому при поділ кватерниона використовуємо формулу (1.15). При записи такого кватерниона в першому доданку збираємо всі змінні з кватернионами одиницею а в другому доданку збираємо всі значення з кватернионами одиницею і отримаємо вираз 3.4
(3.4)
У нашому випадку характеристична функцію записуємо замінюючи вираження стоять в дужках на і і отримуємо вираз 5.5
, (3.5)
де - дійсна частина кватерниона;
- уявна частина кватерниона;
Наведемо аналогічні вирази і до виразів з формулу (5.5). Після чого отримуємо два вирази 3.6 та 3.7
. (3.6)
. (3.7)
Якщо прирівняти до константі одержимо рівняння еквіпотенційної лінії показано на формулою 3.8
. (3.8)
Значенню відповідає лінія струму, рівняння якої має вигляд 3.9
. (3.9)
При вирішенні рівняння (3.9) отримуємо сукупність двох рівнянь 5.10
. (3.10)
Вирішуємо друге рівняння і отримуємо рівність 3.11
. (3.11)
Ліва частина виразу представляє рівняння кола, з радіусом
Із сукупності (3.10) маємо дві лінії струму перше з якого представляє пряму лінію паралельну осі абсцис. А другий представляє з себе коло.
Для знаходження швидкостей поблизу циліндра при обтікання знаходимо похідну від потенціалу 3.12
, (3.12)
де - радіус розглянутого кругового профілю.
При рішення даного рівняння будемо використовувати тригонометричну запис кватерниона. Яка буде виглядати як показано на формулі 3.13
. (3.13)
Підставляємо формулу (5.12) у вираз (5.13) і вирішуємо рівняння.
. (3.14)
Замість робимо заміну на яку в свою чергу замінюємо на. Спрощуємо вираз (5.14) і отримуємо рівність 3.15
. (3.15)
Розписуємо у формулі 5.15 і отримаємо рівність 5.16
. (3.16)
В...
