з її допомогою робити необхідні висновки. [1,98]. p> На третьому етапі розглядаються наведені квадратні рівняння, які мають вигляд х 2 + px + q = 0 (3), де p і q - дані числа. Число p - коефіцієнт при х, а q - вільний член. Дискримінант рівняння дорівнює: D = p 2 - 4q. Розглядають 3 випадки:
1. D> 0, тоді рівняння (3) має два корені, які обчислюють за формулою. (4)
2. D = 0, тоді рівняння (3) має єдиний корінь, або, як горять, два співпадаючих кореня:
3. D <0, то рівняння не має коренів. Зазвичай у разі наведеного квадратного рівняння (3) замість D розглядається вираз, що має той же знак, що і D. При цьому формулу коренів наведеного квадратного рівняння (4) записують так:
Звідси випливає, що:
1) якщо то рівняння (3) має два кореня;
2) якщо то рівняння має два співпадаючих кореня;
3) якщо то рівняння не має коренів.
Важливим моментом у вивченні квадратних рівнянь є розгляд теореми Вієта, яка стверджує наявність залежності між корінням і коефіцієнтами наведеного квадратного рівняння.
Теорема Вієта. Сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену. p> Інакше кажучи, якщо x 1 і x 2 - Коріння рівняння х 2 + px + q = 0, то
В
x 1 + x 2 = - p,
x 1 x 2 = q. (5)
Дані формули називають формулами Вієта на честь французького математика Ф.Віета (1540-1603), який ввів систему алгебраїчних символів, розробив основи елементарної алгебри. Він був одним з перших, хто числа став позначати буквами, що істотно розвинуло теорію рівнянь.
Наприклад, наведене рівняння х 2 - 7х +10 = 0 має корені 2 і 5. Сума коренів дорівнює 7, а твір дорівнює 10. Видно, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену. p> Справедлива також теорема, зворотна теоремі Вієта.
Теорема, зворотній теоремі Вієта. Якщо для чисел x 1 , x 2, p, q справедливі формули (5), то x 1 і x 2 - корені рівняння х 2 + px + q = 0 [2,49].
Теорема Вієта і теорема, зворотна їй, часто застосовуються при вирішенні різних завдань.
Наприклад. Напишемо наведене квадратне рівняння, коренями якого є числа 1 і -3.
За формулами Вієта
- p = x 1 + x 2 = - 2,
q = x 1 x 2 = -3. p> Отже, шукане рівняння має вигляд х 2 + 2х - 3 = 0.
Складність освоєння теореми Вієта пов'язана з декількома обставинами. Перш за все, потрібно враховувати відмінність прямий і зворотної теореми. У прямій теоремі Вієта дано квадратне рівняння і його коріння; в зворотній - тільки два числа, а квадратне рівняння з'являється в укладенні теорем...
