збиття сукупності всіх приватних рівнянь на непересічні типи;
. пошук спільних рішень приватних рівнянь кожного типу. У процесі розбиття приватних рівнянь виділяються:
· сукупність особливих приватних рівнянь типу?- Всі помилкові числові рівності;
· сукупність особливих приватних рівнянь типу?- Всі справжні числові рівності;
· тип не особливих приватних рівнянь, що не мають рішень;
· типи (один або декілька) приватних рівнянь з однаковими загальними рішеннями.
Приклад 1. У лінійном рівнянні значенню а =0 і а =2 відповідають особливі приватні рівняння типу?, для а =- 2 частное рівняння є особливим типу?. Значенням параметра з безлічі відповідає тип не особливих приватних рівнянь із загальним рішенням.
В результаті отримуємо відповідь, яка запишемо компактно наступним чином:
Приклад 2. У лінійному рівнянні всім точкам прямий відповідають приватні рівняння типу?, Точкам гіперболи, відмінним то точок прямої, відповідає тип? особливих приватних рівнянь з відмінною від нуля правою частиною (рис.1).
Для решти точок площини Оаb відповідні приватні рівняння мають єдине рішення, обчислюється за формулою.
Отже:
; ;
Приклад 3. У квадратному рівнянні жодне з приватних рівнянь не є особливим типу? або типу?. Дискримінант звертається в нуль для значень а =- 1 і а =4, причому D lt; 0 для і D gt; 0 для. Тоді сукупність всіх приватних рівнянь розбивається на три типи:
· тип J не особливо приватних рівнянь, що не мають рішень в множині всіх дійсних чисел і відповідають значенням параметра;
· тип К не особливих приватних рівнянь, що мають дворазові коріння виду та відповідних безлічі;
· тип L не особливо приватних рівнянь, що мають різні загальні рішення і на безлічі
Відповідь:; ;
Звернемо увагу на два факти:
розбиття приватних рівнянь на типи здійснюється виділенням областей однотипності в безлічі допустимих значень параметрів. У рівняннях з одним параметром виділення областей проводиться деякими точками - контрольними значеннями параметра (і в першому прикладі, і в третьому). У рівняннях з двома параметрами області однотипності виділяються лініями контрольних значень параметрів ( і в другому прикладі).
для типів не особливо приватних рівнянь знаходяться загальні рішення - певні функції, залежні від параметрів. При цьому тип приватних рівнянь характеризується або одним спільним рішенням, або кількома.
Визначення. У рівнянні F (а; х) =0 з параметром а і змінної х функція х = f (а) називається загальним рішенням на безлічі Af значень параметра, якщо для будь-якого значення х = f (ai) є рішенням приватного рівняння F (ai; х) =0.
У визначенні важливий не тільки вид функції х = f (a), але і безліч Af відповідних значень параметра. Для рівняння з двома параметрами в якості загальних рішень виступають функції на множині.
Розглянемо спосіб класифікації приватних рівнянь за допомогою моделі спільних рішень.
Приклад 4. У раціональному рівнянні
Функція є спільним рішенням для тих значень параметра, для яких. Оскільки
то - загальний розв'язок рівняння на.
Функція є загальне рішення рівняння на безлічі на.
Побудуємо модель спільних рішень в наступному вигляді (Мал. №2):
Рис. 2
На моделі виділяємо всі типи приватних рівнянь:
; ; ;
Отже, на простих прикладах розглянуті основні поняття рівнянь з параметрами: область допустимих значень, область визначення, загальні рішення, контрольні значення параметрів, типи приватних рівнянь. Способи їх знаходження будуть встановлюватися в кожному виді рівнянь окремо.
На базі введених понять визначимо загальну схему вирішення всякого рівняння F (а; х) =0 з параметром а (для випадку двох параметрів схема аналогічна):
· встановлюються область допустимих значень параметра і область визначення;
· визначаються контрольні значення параметра, що розбивають область допустимих значень параметра на області однотипності приватних рівнянь;
· для контрольних значень параметра відповідні приватні рівняння досліджуються окремо;
· знаходяться загальні рішення рівняння F (а; х) =0 на відповідних множинах значень параметра:
· складається модель спільних рішень, контрольних значень параметра в наступному вигляді (Мал. №3):
· на моделі виділяю...
