о і два інших диференціальних рівняння рівноваги (14). Таким чином, отримуємо систему рівнянь для розв'язання задачі теорії пружності в переміщеннях:
(22)
Ці рівняння називаються рівняннями Ламі. Вони об'єднують статичні, геометричні та фізичні передумови теорії пружності, розглянуті вище. Дійсно, в них містяться умови рівноваги кожного елемента тіла, геометричні характеристики деформації і фізичні характеристики матеріалу і.
Так само як і рівняння рівноваги, перетворимо умови на поверхні. Для цього в перше рівняння (15) підставимо вирази напружень через деформації (19):
(23)
Вираз в перших дужках являє собою похідну функції N1 у напрямку нормалі до поверхні тіла. Дійсно, обчислюючи приватну похідну складної функції N1 по змінній, получ?? ем
Похідні координат по, являють собою відповідні напрямні косинуси нормалі,:
Таким чином,
і рівняння (23) приймає вигляд
(24)
Точно так само можна перетворити два інших рівняння (15). У результаті приходимо до наступних трьом умовам на поверхні, вираженим через переміщення:
(25)
Тепер можна скласти план безпосереднього вирішення задачі теорії пружності в переміщеннях. Для визначення трьох складових переміщення необхідно проінтегрувати три рівняння Ламі (23) і задовольнити умовам на поверхні (25). За знайденими переміщенням з геометричних співвідношень Коші (16) визначають складові деформації, а потім з формул закону Гука (19) - складові напруг.
8. Метод рішення задачі для знаходження резонансної частоти коливань
. 1 Висновок формули для знаходження резонансної частоти коливань
Розглянемо два приміщення між якими знаходиться пружний шар, приміщення заповнені повітрям. З верхнього приміщення проходить шум, через пружний шар в нижнє приміщення (малюнок 2).
Малюнок 2 - Приміщення з пружним шаром
Рівняння коливань пружного шару
,
де - частота коливань,
- щільність пружного шару,
- коефіцієнти Ламі.
. (26)
Граничні умови
при,
при.
Вирішимо диференціальне рівняння
,
.
Складемо характеристичне рівняння
Знайдемо корені характеристичного рівняння
За допомогою коренів отримуємо загальне рішення вихідного рівняння
(27)
Продифференцируем отриманий результат по
(28)
Підставивши граничні умови в рівняння (28) отримуємо систему з двох рівнянь
(29)
З першого рівняння системи (29) випливає, що
Для знаходження підставляємо отримане значення в друге рівняння системи (29)
Підставимо значення і в рівняння (27)
(30)
За допомогою елементарних алгебраїчних перетворень рівняння (30) отримуємо
(31)
Помножимо і розділимо рівняння (31) на
(32)
Результат (32) є остаточним рішенням рівняння коливань пружного шару. З отриманого співвідношення можна виразити частоту коливань, при якій переміщення шару необмежено зростають. Для цього прирівняємо до нуля знаменник і вирішимо рівняння
,
або,
,
Висловимо і підставимо у формулу (26)
Знаходимо
(33)
через формулу погонной маси, з узятим значенням=1 (м3)
(34)
і через формулу жорсткості шару
(35)
Спрощуємо рівність (33)
(36)
у формулі циклічної частоти
висловимо, підставивши рівність (36)
(37)
Формула (37) дозволяє знайти частоти коливань, при яких спостерігається резонанс в пружному шарі - переміщення його точок звертаються в нескінченність.
8.2 Знаходження резонансних частот коливань
Для знаходження частот коливань потрібні формули (34), (35), (37), а також формула по знаходженню коефіцієнтів Ламі
Таблиця 1 Основні дані
Бетон Щільність: (кг/м3); (кг/м3)
Модуль Юнга:
Коефіцієнт Пуассона:
Товщина: (м); (м); (м).
8.2.1 Розрахуємо значення і при щільності і товщини,,
Таблиця 2 - Значення і при щільності і товщини,,
При При При k1,...
