/u> При ненульових початкових умовах формула Дюамеля безпосередньо непридатна. У цьому випадку необхідно попередньо перетворити вихідну задачу до задачі з однорідними (нульовими) початковими умовами. Для цього введемо нову функцію, вважаючи
(18.8)
де - початкові значення шуканого рішення.
Як легко бачити,, і отже,.
Таким чином, функція - рішення рівняння (18.1) з правою частиною, отриманої в результаті підстановки (18.8) у (18.1), при нульових початкових даних. p> Використовуючи (18.7), знайдемо і. p> Приклад 4. За допомогою інтеграла Дюамеля знайти рішення задачі Коші
В
з початковими умовами.
Рішення. Початкові дані ненульові. Вважаємо, відповідно до (18.8),. Тоді, і для визначення отримаємо рівняння з однорідними початковими умовами. p> Для розглянутої задачі характеристичний многочлен, вагова функція. За формулою Дюамеля
В
.
Остаточно, br/>
.
Системи лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Завдання Коші для системи лінійних диференціальних рівнянь в матричній запису має вигляд
, (18.9)
де - вектор шуканих функцій; - вектор правих частин; - матриця коефіцієнтів; - вектор початкових даних.
Переходячи в (18.9) до зображень, отримаємо операторну систему
, (18.10)
де - Лаплас-образи векторів шуканих функцій і правих частин відповідно. p> З (18.10) знаходимо операторний рішення
, (18.11)
де; Е - одинична матриця.
Оригінал операторного рішення (18.11) є рішенням вихідної задачі Коші (18.9).
Позначимо вагову матрицю, тобто матрицю-оригінал для, де Тоді з (18.11) відповідно до теоремою 1 В§ 16 матимемо
. (18.12)
При нульових початкових умовах
. (18.13)
Співвідношення (18.13) являє собою матричний аналог інтеграла Дюамеля. p> Приклад 5. Знайти рішення задачі Коші
В
з початковими умовами.
Рішення. Запишемо систему і початкові умови в матричної формі:
,
де. Тоді
В
;
В В
.
Остаточно, за формулою (18.12) отримаємо
В
або
В
Зауваження. Формули (18.12) і (18.13) мають велике теоретичне значення, оскільки дозволяють досліджувати поведінка рішення системи диференціальних рівнянь в залежності від початкових даних і правих частин. Однак для практичного застосування ці формули мало придатні, тому що найчастіше вимагають проведення громіздких викладок, пов'язаних з обчисленням зворотних матриць, матричних згорток і т.п. Тому на практиці зазвичай застосовують операторний метод, не переходячи до матричної запису системи рівнянь, а при вирішенні операторної системи використовують конкретні особливості досліджуваного завдання.
Приклад 6. Вирішити завдання Коші:
В
з початковими умовами.
Рішення. Перейдемо в даній системі до зображень. З урахуванням початкових умов матимемо
В
Запишемо рішення операторної системи
.
Тоді
.
В
В§ 19. Програми
Електричні ланцюга. Основними елементами електричних ланцюгів є опору, індуктивності та ємності (конденсатори). Кожен з цих елементів називаються двополюсників, оскільки він володіє двома контактами (полюсами), які з'єднуються з полюсами інших елементів ланцюга. Електричний стан двухполюсника в кожен момент часу визначається двома величинами: силою струму (струмом), що проходить через двухполюсник, і падінням напруги (напругою) на його полюсах. Для кожного двухполюсника функції і пов'язані деяким співвідношенням, що представляє собою фізичний закон, керуючий роботою двухполюсника. p> Для опору має місце закон Ома
,
де - опір двухполюсника. p> Для індуктивності справедливе співвідношення
,
де - індуктивність двухполюсника.
Для конденсатора виконується співвідношення
,
де З - Ємність конденсатора; - початковий заряд на його обкладках.
Надалі будемо вважати, що в початковий момент часу ланцюг була вільна від струмів і зарядів, що відповідає завданням включення. p> Якщо ввести операторний струм і операторний напруга як зображення функцій і відповідно, то вищенаведені рівняння, що керують роботою двухполюсников, перейдуть у наступні:
.
Останні співвідношення можуть бути записані у вигляді операторного закону Ома
,
де операторний опір (імпеданс) у разі активного опору, індуктивності та ємності прийнято у вигляді відповідно. Величи...
