r/>
7. Точка Нагеля - точка перетину прямих, що з'єднують вершини трикутника з точками дотику відповідних вневпісанних кіл (рис. 1.3.4) .
8. Точка Фейєрбаха - точка дотику кола дев'яти точок і вписаного кола трикутника.
9. Точка Аполлонія (A) - точка, педальний трикутник (освічений підставами перпендикулярів, опущеною з даної точки на сторони трикутника або їх продовження) якої є правильним.
10. Точка Лемуана - точка перетину сімедіан.
Між зазначеними чудовими точками існують пари ізогонально (ізотоміческі) сполучених точок.
Теорема 1.3.1. Перша і друга точки Брокара ізогонально сполучені.
Доказ. Нехай Р і Q - перша і друга точки Брокара трикутника АВС відповідно,
Доведемо, що. Так само, як у попередньому пункті, побудуємо точку (Мал. 1.3.7). Як ми встановили, точка Р лежить на відрізку . Оскільки то прямі АС і паралельні. Хай крапки K і L - підстави перпендикулярів, опущених на пряму АС з точок В і відповідно (Мал. 1.3 .8). Нехай також точка К лежить на відрізку АС, а не на його продовженні (інші випадки розбираються аналогічно). Тоді з рівності отримуємо
Оскільки, за визначенням, кут менше будь-якого з кутів трикутника АВС, а значить, менше 90 В°, то за величиною однозначно визначається кут. Для кута, пов'язаного з другою точкою Брокара, ми отримаємо точно таке ж вираження, тому
З рівності цих кутів випливає, що перша і друга точки Брокара ізогонально сполучені.
Теорема 1.3.2. Ортоцентр трикутника ізогонально пов'язаний центру описаного кола.
Доказ. Це випливає з теореми 1.1.2. Дійсно, педальні окружності точок H і O збігаються з колом дев'яти точок Ейлера.
Теорема 1.3.3. Центроид і крапка Лемуана ізогонально сполучені.
...
