мо, які потім підставляємо у шуканий многочлен.
Запишемо алгоритм методу найменших квадратів.
Вводимо таблицю чисел.
Обчислюємо.
Вирішуючи будь-яким відомим методом отриману систему лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходимо - коефіцієнти шуканого многочлена.
Для таблиці вузлових точок, побудуємо апроксимаційний многочлен другого порядку методом найменших квадратів види:
.
0.50.7071.0
Для цього необхідно обчислити наступні суми
В В
і вирішити СЛАР відносно невідомих коефіцієнтів види:
В
Значення невідомих коефіцієнтів дорівнюють:
.
Тоді шуканий многочлен другого порядку матиме вигляд:
.
Неважко помітити, що у вузлових точках значення многочлена і табличній функції не збігаються. Похибка обчислень за цією формулою в контрольній точці, в порівнянні з істинним значенням, становить
.
3. Розрахункова частина
Задача 1. Знайти дійсні корені рівняння методами простих ітерацій і дотичних (Ньютона) з точністю до 0,00001. p> Знаходження наближених значень дійсних коренів включає в себе:
а) визначення їх числа;
б) відділення коренів, т.е відшукання досить малих проміжків в кожному з яких укладено один і тільки один корінь рівняння;
с) обчислення коренів із заданою точністю.
f (x) = х3-4х2 +6 х -3
Визначимо число коренів рівняння графічним способом. Для цього перетворимо вихідне рівняння до наступного еквівалентному увазі:
х3 = 4х2-6х +3
Побудувавши графіки функцій f1 (x) = х3 f2 (x) = 4х2-6х +3, визначаємо, що у рівняння має тільки один корінь, який знаходиться в інтервалі 0,9 <х <1,2
В
Метод Ньютона. Визначимо поведінку першої та другої похідної функції f (x) на інтервалі уточнення кореня.
Для функції f (x) = х3-4х2 +6 х -3 маємо:
f `(x) = 3х2-8х +6; f` (0,9) = 1,23; f `(1,2) = 0,72;
f `` (x) = 6x - 8; f `` (0,9) = -2,6; f `` (1,2) = -0,8.
В якості початкового наближення виберемо ліву межу інтервалу, х (0) = 0,9.
Подальші обчислення виробляємо за формулою:
f (x (k)) = х3 (k)-4х2 (k) +6 х (k) -3, f `(x (k)) = 3х2 (k)-8х (k) +6.
Ітерації завершуються при виконанні умови | х (к +1) - х (к) |
Результати обчислень занесемо в таблицю:
kх (k) f (x (k)) f `(x (k))-f (x (k))/f
х = 1
Метод простої ітерації . Рівняння f (x) = х 3 -4х 2 +6 х -3 можна записати у вигляді
х =.
За основний інтер...
