(3.15) до кожної i -й точці (з урахуванням граничних умов), можна відшукати шукане рішення на часовому шарі j? t і так далі. Це пояснює, чому дана схема називається явною: рівняння (3.15) дозволяє явним чином знаходити рішення задачі в кожній i -й точці в момент j? T.
Малюнок 3.3 - Явна різницева схема
У рівнянні (3.16) є три невідомі величини: p i, j , p i +1, j , p i - 1, j (малюнок 3.4). Записавши рівняння (3.16) для точок i =1,2, ..., n - 1, отримаємо систему з п - 1 рівнянь з п +1 невідомими. Граничні умови в точках. i =0 і i = n дають ще два рівняння. Отже, для знаходження рішення задачі на шарі j? t потрібно вирішити систему з n +1 алгебраїчних рівнянь з n +1 невідомими: p 0, j ; p 1, j ; p 2, j ; ...; p n - 1, j ; p n, j .
Малюнок 3.4 - Неявна різницева схема
Отже, використання чисельного методу зводить інтегрування диференціального рівняння (3.8) при відповідних крайових умовах до вирішення суто алгебраїчної задачі. При цьому практичне застосування отримала неявна схема, так як для явної схеми характерна наявність наступного обмеження на крок по осі часу:
. (3.17)
Дане обмеження є жорстким, тому вигідно, з точки зору витрат часу на ЕОМ, на кожному часовому шарі вирішувати систему алгебраїчних рівнянь, використовуючи ? t , що значно перевищує часовий крок, що диктуються нерівністю (3.17) для явної схеми.
3.2 Багатовимірні задачі теорії фільтрації
.2.1 Вихідні рівняння
Більшість практично цікавих завдань в області розробки газових і нафтових родовищ вирішуються в двовимірної і тривимірної постановках. Це означає, що у найпростішому випадку потрібно проінтегрувати двовимірне рівняння несталої фільтрації газу (або рідини) при відповідних крайових умовах.
Розглянемо випадок несталої фільтрації рідини в пласті, однорідному за колекторським властивостям. Тоді розгляд цікавлять ідей виявляється найбільш простим і плідним.
Відомо, що двовимірна нестала фільтрація рідини в однорідному пласті описується таким диференціальним рівнянням параболічного типу:
. (3.18)
Дане рівняння необхідно вирішити при заданому початковому умови, в якості якого приймемо умова незбурених нафтоносного (водоносного) пласта, тобто
. (3.19)
Умова (3.19) означає, що до початку розробки нафтового покладу тиск всюди однаково одно початкового р н . Запис читається так: x і y належать області інтегрування G.
Зовнішню кордон області G позначимо через Г . На ній можуть задаватися ті чи інші граничні умови, наприклад:
(3.20)
або
. (3.21)
Тут - нормаль до зовнішньої кордоні пласта Г.
Якщо у формулюванні завдання потрібно дотриматися умови (3.20), то передбачається непроникність зовнішнього кордону. Умова (3.21) характеризує відому залежність тисків на кордоні Г від часу. В окремому випадку на зовнішній межі задається, наприклад, деякий постійний тиск p 0 і т.д. ...
