Крім того, при вирішенні рівняння (3.18) необхідно врахувати умови на внутрішніх кордонах - граничні умови на свердловинах. Найпростіше це зробити, ввівши в диференціальне рівняння (3.18) член, що враховує дію джерел або стоків.
Приймемо поки, що видобувні свердловини розташовані рівномірно на площі нафтоносності і характеризуються щільністю джерел (стоків) рідини q=q (x, y, t). Цей факт враховується наступною формою запису вихідного диференціального рівняння:
. (3.22)
Тут - щільність відбору нафти із одиниці площі нафтоносності в одиницю часу в момент часу t в точці з координатами х і у.
Таким чином, для визначеності будемо розглядати рішення рівняння (3.22) при дотриманні умов (3.19) і (3.20).
3.2.2 Типи сіткових областей
При дослідженні двовимірних задач теорії розробки область фільтрації розбивається на елементарні площадки з кроками ? x і ? y відповідно по осях Ох і Оу. При цьому найбільш поширені сітки двох типів (малюнки 3.5, 3.6).
. Блокова сіткова область. Тут шукані тиску обчислюються в центрах елементарних осередків. Вона краща в тому випадку, коли на зовнішньому кордоні Г задано значення нормальної похідної - умова (3.20).
Малюнок 3.5 - Схема блокової сіткової області
. Вузлова сіткова область. У даному разі тиску обчислюються у вузлах пересічний ліній сітки. Подібна сітка доцільна, коли на зовнішньому кордоні Г задаються значення тисків - умова (3.21).
Малюнок 3.6 - Схема вузловий сіткової області
Сіткові області розглянутих типів взаімообратімості. Так блокова сіткова область звертається в вузлову, якщо вузлові точки розмістити в центрах блоків. Накладення блокової сітки на вузлову при збереженні центрального положення вузлів переводить вузлову сітку в блокову.
Для сформульованої задачі міркування будемо проводити стосовно до блокової сіткової області.
При вирішенні вихідної задачі можуть використовуватися ті чи інші різницеві схеми. Явну різницеву схему не будемо розглядати через необхідність дотримання досить жорсткого обмеження на величину тимчасового кроку.
3.2.3 Повністю неявна різницева схема
Елементарним осередкам (блокам) у напрямку осі Ох будемо приписувати індекс i , уздовж осі Оу - індекс j і по осі часу - індекс k . Тоді, наприклад, p i, j, k означатиме тиск в точці пласта з координатами х=i? x і y=j? y в момент часу t=k? t . Застосування неявній різницевої схеми до рівняння (3.22) дає наступне різницеве ??рівняння для (i, j) -й осередки:
. (3.23)
Рівняння (3.23) записано дня (i, j) -й елементарної комірки. У цьому рівнянні п'ять невідомих тисків: тиск у самій (i, j) -й комірці і в чотирьох сусідніх осередках, тобто невідомі p i, j, k , p i +1, j, k , p i - 1, j, k , p i, j +1, k , p i, j - 1, k
Записуючи рівняння (3.23) для всіх елементарних осередків області інтегрування, приходимо до системи з ( m - 1) ( n - 1) алгебраїчних рівнянь з ( m +1) ( n +1) невідомими. Тут ( m - 1) ( n
