яння мають два різних корені, їх загальні рішення.
Відповідь:; ; ; ; ; [28, с. 34- 35].
У рівнянні не вище другого ступеня з параметрами і і змінної всяке приватне рівняння належить одному з вище перерахованих типів з аналогічними характеристиками. Контрольні значення параметрів визначаються рівняннями і. У площині ці рівняння виділяють області, на яких дискримінант D має певний знак. Тоді загальна схема рішення рівнянь з двома параметрами не змінюється, лише замість числової прямої використовується координатна площину . Графічне зображення ліній контрольних значень параметрів і виділених ними областей однотипності забезпечує наочність у виконанні кожного з етапів рішення.
1.2.3.6 Інтеграція алгебраїчного і геометричного методів при вирішенні рівнянь з параметром
Історія математики свідчить про те, що обидва методи, алгебраїчний і геометричний, розвивалися в тісному взаємозв'язку. Перші елементи алгебри з'явилися відразу в двох рівноправно існуючих інтерпретаціях: геометричній і буквено-символічною. Саме завдяки взаємозв'язку алгебраїчного і геометричного методів були зроблені багато відкриттів в математиці.
В цілому, як зазначав А.Д. Александров, «майже всю математику можна розглядати як розвивається з взаємодії алгебри (спочатку арифметики) і геометрії, а в сенсі методу - з поєднання викладок і геометричних уявлень». Саме ця взаємозв'язок й повинна знаходити відображення в шкільному курсі математики, показуючи учням процес становлення математичного знання, роблячи їх реальними учасниками математичних «відкриттів».
Проілюструємо інтеграцію алгебраїчного і геометричного методів на прикладі рішення рівняння з параметром.
Приклад. При яких значеннях параметра а рівняння
не має рішень, має одне рішення, два рішення, незліченна безліч рішень?
Рішення.
1. Алгебраїчний метод.
Розіб'ємо всю числову вісь на три ділянки (Мал. №5):
Рис. 5
Якщо, то отримуємо:
.
Рівняння матиме рішення, якщо
.
При рівняння не матиме рішень.
Якщо, то маємо:
, звідки.
Рівняння має незліченну безліч рішень при, у випадку, якщо, не має рішень.
Якщо, то маємо:
.
Рівняння має рішення, якщо звідки. При рівняння не має рішень.
Відповідь: при рівняння не має рішень; при рівняння має два рішення; при рівняння має незліченну безліч рішень; одне рішення рівняння не може мати ні при якому значенні а.
. Геометричний метод.
На геометричній мові рівняння означає, що треба знайти таку точку, сума відстаней від якої до точок і дорівнює а. На рис 1. Видно, що АВ=4, тому:
Якщо, то такої точки, сума відстаней від якої до точок і дорівнює а, не існує, так як для точок на відрізку АВ сума відстаней до точок А і В дорівнює 4, а для точок, лежать поза відрізка АВ, сума відстаней більше 4. Значить, при рівняння не має рішень.
Рис. 6
Якщо, то завжди існують дві точки і лежать поза відрізка АВ і симетричні щодо нього, сума відстаней від кожної з яких до точок А і В дорівнює а. І значить, рівняння має два рішення.
Якщо, то існує нескінченно багато точок, сума відстаней від яких до точок А і В дорівнює 4 (всі вони розташовані на відрізку АВ). Значить, в цьому випадку рівняння має незліченну безліч рішень.
Крім того, не існує однієї точки, сума відстаней від якої до точок А і В дорівнює а. Так як, якщо є одна точка, то знайдеться завжди і їй симетрична відносно відрізка АВ. Отже, рівняння не може мати одного рішення ні при якому значенні а.
У підсумку відповідь отримуємо такий же, як і у випадку алгебраїчного методу.
Висновки по першому розділі
Навчальний моделювання, на відміну від наукового, має кілька цілей, головною з яких є навчання учнів самому методу моделювання, методам наукового пізнання, способам розумової діяльності, розвитку інтуїції і творчих здібностей.
Характерні ознаки навчального моделювання:
) навчальний моделювання - це процес пошукової пізнавальної діяльності (вивчення, виявлення, встановлення чого-небудь і т.д.);
) навчальний моделювання завжди спрямоване на одержання нових знань, тобто моделювання завжди починається з потреби дізнатися що-небудь нове;
) навчальний моделювання передбачає самостійність учнів при виконанні завдання;
) навчальний моделювання повинно бути спрямоване на реалізацію дидактичних цілей навчання.
...
