pan> ? I. Так як MFn (x) F (x), DFn (x) [1-F (x) 0 (n ), де F (x) - функція розподілу вихідних величин ? i ( функція теоретичного розподілу), Fn (x) - незміщена і заможна оцінка для F (x).
Якщо функція теоретичного розподілу достовірно відома і лише висловлюється гіпотеза, згідно з якою цієї функцією є деяка задана функція безперервного розподілу F (x), яка не містить невідомих параметрів, то позначаємо таку гіпотезу символом H0:
: Fn (x) F (x).
Точно також виражаються гіпотези, що конкурують з H0:
H1 + {? [F (x)]}: sup | x | 0, - {? [F (x)]}: inf | x | < ? [F (x)] (MFn (x)-F (x ))> 0,
де ? (F) - задана неотрицательная функція (її часто називають ваговій функцією).
Розглянемо критерій Смирнова, призначеного для перевірки гіпотези Н0 при конкуруючої гіпотезі Н1.Статістікі критерію задаються формулами:
= sup | x | < | Fn (x)-F (x) |,
Dn + sup | x | < (Fn (x)-F (x)),
де в лівих частинах знаки + і - вказують відповідну конкуруючу гіпотезу Н1 + і Н1-.
Для практичних обчислень цих статистик корисні інші формули, еквівалентні попереднім:
Dn + = , = .
Якщо гіпотеза Н0 вірна, то статистики Dn + і Dn-розподілені однаково, тому надалі ми будемо розглядати лише критерій, обгрунтований на статистиці Dn +:
{Dn +? x} = , (0
З граничних теорем і асимптотичних формул випливає, що якщо n і 0 < ?? x = O (n1/ 3), то
P .
Іншими словами при великих значеннях n статистика (6nDn + +1) 2/(9n) наближено розподілено як ? 2 з двома ступенями свободи.
З ростом n похибки убувають як 1/n.
Нехай Q - заданий рівень значимості, виражений у відсотках (0
{Dn +? Dn + (Q)} = 0,01 Q.
