бік руху зображає точки. Довжина вектора фазової швидкості визначається швидкістю зміни кожної з координат системи. Тоді рух зображає крапки по фазовим траєкторіях у фазовому просторі можна розглядати як геометричну інтерпретацію руху в динамічній системі. p align="justify"> В якості ілюстрації наведемо фазові портрети лінійних систем, описуваних рівнянням другого порядку з постійними параметрами, і встановимо зв'язок між коефіцієнтами рівняння і характером фазових траєкторій. Припустимо, що диференціальне рівняння
(1.20)
описує рух деякої динамічної системи. Розглянемо докладно випадок, коли коріння відповідного характеристичного рівняння і є дійсними і негативними, причому. Рішення рівняння (1.20) має вигляд
(1.21)
де А1 і А2 - постійні інтегрування, що залежать від початкових умов. Рівняння (1.21) в параметричній формі задають сімейство фазових траєкторій на фазовій площині. Зауважимо, що при А2 = 0 величини х2 і х1 пов'язані залежністю х2 =, і тому рух зображає точки відбуватиметься по прямій I (рис. 1.14, а), заданої рівнянням
(1.22)
Аналогічно при А1 = 0 фазова траєкторія стає прямої II, заданої рівнянням
(1.23)
Так як, то траєкторії стягуються до початку координат. У силу того, що при пряма I є дотичною для будь фазової траєкторії, за винятком прямої II. Загальний вигляд фазової площини для розглянутого випадку представлений на рис. 1.14, а. Фазовими траєкторіями є сімейство кривих параболічного типу, рівняння яких можна отримати з (1.21), виключивши параметр t. Тут і надалі стрілки на фазових траєкторіях позначають напрямок руху зображає точки. p> У разі, якщо корені характеристичного рівняння негативні і рівні, фазовий портрет системи має вигляд, представлений на рис. 1.14, б. Серед фазових траєкторій мається одна пряма, кутовий коефіцієнт якої дорівнює кореню характеристичного рівняння. Ця пряма, так само як і в попередньому випадку, є дотичною для всіх фазових траєкторій. p> Система, буде також стійка, якщо корені характеристичного рівняння комплексні і мають негативні дійсні частини. Фазовими траєкторіями такий стійкої системи буде сімейство скручується спіралей (рис. 1.14, в)
В
Рис. 1.14. p> Розглянута динамічна система перебуватиме на межі стійкості, якщо а2 = 0, а1> 0 (випадок чисто уявних коренів). На фазовій площині, відповідної цій системі, що зображає точка буде рухатися по замкнутих траєкторіях, які утворюють сімейство вкладених один в одного еліпсів (мал. 1.14, г). Для системи з коливальної нестійкістю, фазовим портретом є сімейство розкручуються спіралей (рис. 1.14, д). На рис. 1.14, е представлені фазові траєкторії системи з апериодической нестійкістю, якщо обидва кореня характеристичного рівняння позитивні. Дві прямі є фазовими траєкторіями, мають кутові коефіцієнти, рівні значенням цих коренів. Випадок кратних коренів наведемо на рис. 1.14, ж. І, нарешт...
