енту через нормувального константу і безрозмірну функцію, можна записати рівняння (52), що визначає функцію, у вигляді
. (55)
Невідома функція визначається, як видно з (55), хвильовим рівнянням з залежною від координати швидкістю поширення хвилі.
Для рішення рівняння (55) зручно ввести нові функції F і Q і нову змінну [29]:
; ; . (56)
Рівняння (54) при цьому перетвориться до виду
. (57)
Функція досі залишається невідомою.
Розглянемо, наприклад, просте приватне рішення рівняння (57), відповідне функції Q , яка визначається умовами
. (58)
Тут - деяка постійна, яка буде визначена нижче. Припускаючи гармонійну залежність поля F від часу, можна переписати рівняння (56) з урахуванням (57) у вигляді
. (59)
Відзначимо, що координата (55) пропорційна довжині фазового шляху хвилі в неоднорідному середовищі:. Рівняння (59) описує синусоидальную хвилю, що біжить у напрямку:
F ~.
Підставляючи цей вираз для функції F в (58), можна представити безрозмірний вектор-потенціал у вигляді біжучої хвилі з просторово-модульованої амплітудою:
,; ;
; . (60)
Фактор N (59) при аналогічний показнику заломлення для хвиль, що поширюються в хвилеводі з частотою відсічення. Щоб обчислити з (60) компоненти електромагнітного поля і, потрібно знайти з (58) функцію, визначити параметр і висловити змінну через координату z .
Профіль, що допускає подання поля у вигляді (59), дається рішенням рівняння (58):
,,. (61)
Тут і - вільні параметри моделі (61), що мають зміст характерних просторових масштабів неоднорідності діелектричної проникності. Якщо знаки і збігаються, то залежно монотонні; при різних знаках і виникають екстремуми функцій:
; ; . (62)
У граничному випадку функція (61) відповідає профілю (48), точне рішення для якого вказано Релєєм [24]. Підставивши (60) в (57), отримаємо вираз для параметра:
. (63)
Залежно від співвідношення характерних довжин і і знаків і параметр може приймати позитивне, негативне або нульове значення. У кожному з цих випадків змінна (56) представляється різними формулами. Так, наприклад,
, (64)
,, (65)
,. (66)
У межі змінна має вигляд
.
Випадок розглянутий нижче. Тепер всі величини, що визначають вектор-потенціал (60), виражені через параметри неоднорідності.
Отримані результати дозволяють виявити ефект нелокальної дисперсії неоднорідного діелектрика (61). Цей ефект, який визначається параметрами профілю,,, і, описується фактором N (60). У разі середовище характеризується нормальною дисперсією
,. (67)
В протилежному випадку неоднорідність діелектричної проникності призводить до аномальної дисперсії
,. (68)
Слід підкреслити, що знайдені характерні частоти і обумовлені тільки параметрами неоднорідності і не пов'язані з матеріальною дисперсією середовища.
Таким чином, рішення рівнянь (52), (53) за допомогою першого способу дозволило представити поле в неоднорідному діелектрику у ...
