402
В В В В
3,3590
3,9950
4,7406
В В В В
7 * 10 -5
10 -5
1,4 * 10 -5
В
Отримуємо відповідь y = (1,5) = 4,74.
Крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь
В
На практиці доводиться часто вирішувати завдання, коли умови задаються при двох значеннях незалежної змінної (на кінцях розглянутого відрізка). Такі завдання, звані крайовими, виходять при рішенні рівнянь вищих порядків або систем рівнянь. Стандартна постановка крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь виглядає наступним чином
, а додаткові умови ставляться більш, ніж в одній точці відрізка інтегрування рівнянь (у цьому випадку порядок системи не може бути менше другого):,,.
Загальна класифікація методів вирішення крайових завдань: існують точні, наближені і чисельні методи.
6. Наближені методи рішення диференціальних рівнянь з приватними похідними
Крім звичайних диференціальних рівнянь існують так звані диференціальні рівняння з приватними похідними. Далі вони будуть розглянуті більш докладно. p align=center> Класифікація диференціальних рівнянь другого порядку
В
Розглянемо рівняння другого порядку, де - функції і. Кажуть, що вказане рівняння в області належить гіперболічного типа, якщо в цій області. Якщо, то рівняння в області належить параболическому типом. Якщо, то рівняння належить еліптичному типом.
Рівняння називається канонічним рівнянням гіперболічного типу.
Рівняння називається канонічним рівнянням параболічного типу.
Рівняння називається канонічним рівнянням еліптичного типу.
Диференціальне рівняння називається рівнянням характеристик рівняння.
Якщо останнє рівняння гіперболічного типу, то рівняння характеристик має два інтеграла: тобто існують два сімейства речових характеристик.
За допомогою заміни змінних, диференціальне рівняння приводиться до канонічного виду:. Для рівняння параболічного типу обидва сімейства характеристик збігаються, тобто рівняння характеристик дає лише один інтеграл.
У цьому випадку здійснюємо заміну змінних,, де - небудь функція, для якої. Після заміни змінних отримуємо рівняння. Для рівняння еліптичного типу інтеграли рівняння характеристик мають вигляд, де і - речові функції. p> Вважаючи і, наводимо рівняння до виду.
Постановка крайових задач
В
Класичним рішенням крайової задачі називаються всяка функція, що задовольняє диференціальному рівнянню в кожній точці всередині області завдання цього рівняння і безперервна в розглянутій області, включаючи кордон. Відп...
