овідну постановку крайової задачі називають класичною. Існує кілька таких завдань:
Задача Коші для нескінченної області. Розглянемо цю задачу на прикладі
рівняння коливання струни і рівняння теплопровідності. p> Розглянемо процес коливання тонкої нескінченної струни під дією безперервно розподіленої зовнішньої сили з щільністю f. Припустимо, що сила діє в одній площині - площині коливання струни (x, u), а струна є гнучкою пружною ниткою. Нехай величина натягу, що виникає в струні внаслідок її вигину, підкоряється закону Гука, а самі коливання досить малі. Тоді величина зміщення u (x, t) задовольняє рівнянню коливання струни:. Для однозначності процесу необхідно задати ще початкове зміщення і початковий розподіл швидкостей. Математично це відповідає завданням початкових умов:. Потрібно знайти класичне рішення рівняння, що задовольняють початковим умовам. Сформульована таким чином задача називається задачею Коші для гіперболічного рівняння.
Досліджуємо тепер процес розподілу температури в тонкому нескінченному стрижні. Передбачається, що тепловий потік підкоряється закону Фур'є, а зміна температури тіла пропорційно кількості теплоти, що повідомляється тілу. Припустимо, що всередині стрижня може виділятися і поглинатися теплота, яка характеризується щільністю теплових джерел f. Тоді розподіл температури в стержні описується рівнянням теплопровідності:. Для однозначного завдання процесу необхідно вказати початковий розподіл температури. Це відповідає завданням початкової умови:. Потрібно знайти класичне рішення рівняння, що задовольняють початковим умовам. Сформульована таким чином задача називається задачею Коші для параболічного рівняння.
Стаціонарна задача (завдання без початкових даних). Розглянемо усталений
режим розподілу температури в обмеженою тонкої пластині довільної форми з гладкою межею. Нехай функція u (x, y) висловлює температуру кожної точки пластини. За звичайних законах поширення тепла функція u (x, y) задовольняє рівнянням Пуассона:, де функція а задає щільність теплових джерел пластини. У разі відсутності джерела (f = 0) дане рівняння називається рівнянням Лапласа:. Для однозначного опису процесу необхідно задати тепловий режим на кордоні пластини. Це може бути зроблено за допомогою завдання розподілу температури на кордоні або розподілу теплового потоку. Можливий також режим теплового рівноваги випромінювального тіла з навколишнім середовищем.
Залежно від теплового режиму на кордоні виходять три граничних умови для функції u (x, y). Нехай Г - кордон розглянутій області D - Визначення рівняння Лапласа. Математичне формулювання граничних умов може бути задана в наступному вигляді:
граничне умова I роду:В ; p> граничне умова II роду:В ; p> граничне умова III роду:В . p> Похідна береться по зовнішній нормалі до кривої Г; О»> 0 - коефіцієнт теплопровідності; П† 0 , П† 1 , П† 2 - зада...
