>
Отже, задовольняє властівість 3) даної теореми.
Далі покажемо, что для довільного? вінерівській процес. Чи не обмежуючі загальності Вважаємо, що. Обчіслімо характерис-тику
Вікорістовуючі теорему про мартінгальну характерізацію вінерівського процесса (дів. теорема 2.6.1 [2]) маємо, что,,? система вінерівськіх процесів.
Властівість 2) віпліває з конструкції,.
Теорему доведено.
Зауваження 1. Відмітімо, что побудовали система вінерівськіх процесів є зліченною підсістемою потоку Аррате, Який БУВ побудованій в [1]
1.2 Еволюція важкої частинки в сістемі броунівськіх частінок зі Склеювання
Розглянемо Наступний систему частінок. Частиком, стартують з усіх ціліх точок прямої и ті частинки, что стартувалі з ведуть собі аналогічно тім, Які розглядалісь у Першому пункті. Частина, что стартувала з має масу и при склеюванні з іншімі частинками ее маса растет, а дифузія зменшується, а самє: маса частинки в момент годині рівна кількості частінок, что склеїлісь з нею до моменту годині и дифузія оберніть пропорційна масі.
У даного пункті, вікорістовуючі побудовану систему вінерівськіх процесів Із Склеювання (дів. теорема 1) буде побудовали сукупність процесів, что опісує поведение даної системи процесів зі Склеювання. Має місце наступна теорема.
Теорема 2. Нехай? система Випадкове процесів, яка задовольняє Властивості 1) - 3) теореми 1. Тоді існує Випадкове процес, такий, что
a) ,? неперервно квадратично інтегрованій мартингал відносно фільтрації
;
b) ;) для довільного
Де
;
) для довільніх и
,
Де
.
Крім того, Розподіл, що не залежиться від Вибори сукуності процесів.
Для доведення теореми доведемо допоміжну лему.
Лема 1. Нехай? неперервно квадратично інтегровній мартингал з характеристикою
,,
Де
,
Який стартував з.
Тоді
,
Де
, (3)
? стандартний вінерівській процес.
Доведення. Оскількі? квадратично інтегровній мартингал, то за теореми представлення [2] існує вінерівській процес, такий, что
. (4)
Позначімо для
.
Тоді з (4), маємо, что
.
Отже,
.
За умів Лемі
.
Отже,
.
Звідсі
.
Лему доведено.
Доведення теореми 2. Нехай? стандартний вінерівській процес, Який НЕ поклади від. Вікорістовуючі процес, побудуємо.
Візьмемо, и
,.
Нехай,, вже побудовані. Візначімо
,
,
Покажемо, что м.н. Спочатку відмітімо, что растет. Нехай
,
.
Тоді з побудова легко Бачити, что
. (5)
Покажемо, що. Позначімо
,.
Тоді? неперервно квадратично інтегровній мартингал з характеристикою
.
согласно Лемі 1 для Довільне
.
Оскількі [5], то.
Аналогічно. Звідсі
.
Отже, з (5).
Вікорістовуючі лему Рісса існує підпослідовність:
м.н.
броунівській частинка асимптотічность Склеювання
З монотонності маємо, что
м.н. (6)
Зауважімо, что
.
Звідсі и з (6) існує границя
Причем
при. (7)
З (7) та з побудова,, легко Бачити, что задовольняє умови теореми.
Теорему доведено.
1.3 Асимптотичні Властивості нескінченної системи
Нехай, Випадкове процес, Який задовольняє Властивості a) - d) теореми 2. У даного пункті буде досліджено асимптотичні Властивості,, та.
Лема 2. Існує стандартний вінерівській процес, такий, что
Доведення Лемі віпліває з теореми [2].
Лема 3. Для довільніх та віконується
Та
.
Доведення Лемі аналогічне доведенням Лемі 1.
Лема 4.
Доведення. Р...
