фференцируема по х, тобто уявлення (8) можливе при тих же умовах, за яких рішення задачі Коші існує.
Формула (8) показує, що рішення загальної задачі (1) може бути відразу написано, якщо є рішення допоміжної задачі (2) (3). Аналогічна формула має місце і для вирішення задачі Коші в необмеженому просторі.
2. Задача Коші. Двовимірне хвильове рівняння
Вирішимо задачу Коші для рівняння
(1)
з початковими умовами
(2)
Ідея рішення (метод спуску) дуже проста: введемо додаткову змінну x 3 і вирішимо задачу Коші для тривимірного хвильового рівняння, але з початковими умовами (2), не залежними від x 3 . Тоді рішення u (t, x 1 , x 2 , x 3 ) фактично не буде залежати від x 3 оскільки функція u z (t, x 1 , x 2 , x 3 )= u (t 1 , x 1 , x 2 , x 3 + z) є рішенням того ж рівняння і при будь-якому z і задовольняє тим же початковим умовам (2); отже, по теоремі єдиності рішення задачі Коші для тривимірного хвильового рівняння u z не залежить від z , тобто u не залежить від x 3 . Таким чином, рішення задачі Коші (1) існує. Воно єдино просто по теоремі єдиності, що відноситься до тривимірного нагоди, так як рішення задачі (1) - (2) можна розглядати і як вирішення тривимірної задачі Коші.
Тепер запишемо u (t, x 1 , x 2) за формулою Кірхгофа. Маємо:
(3)
Перетворимо другий доданок у формулі (3), яке ми позначимо і
(4)
Розглянемо сферу в просторі по якій відбувається інтегрування в (4). Це сфера з центром в точці x і з радіусом at ( див. Рис. 1). Ми повинні проинтегрировать по сфері функцію, не залежну від y 3 Фактично це означає, що ми двічі інтегруємо по проекції сфери на площину y 3 =0 .
Нехай dy 1 dy 2 - міра Лебега на цій площині, dS at - елемент площі сфери в точці у, проектується в елемент площі dy 1 dy 2. Ясно, що dy 1 dy 2 =| cos < i>? (y) | dS at , де ? (y) - кут між нормаллю до сфери і віссю y3. Але нормаль до сфери пропорційна вектору yx=(y 1 -x 1 , y 2 -x 2 , y 3 ) має довжину at . Будемо інтегрувати по верхній половині сфери і потім подвоїмо результат.
Рис. 1
Тоді з умови | yx |=at випливає, що
Тому формулу (4) можна переписати у вигляді
Рішення задачі Коші (1) - (2) задається формулою Пуассона
(5)
З формули Пуассона видно, що значення рішення u (t, x) в точці x: при n=2 залежить від початкових даних ? (y) , ?? (x) в колі {y: | yx | , а не тільки поблизу його межі. Зокрема, якщо ??,? зосереджені поблизу точки О, то рішення в якій-небудь околиці точки x буде відмінно від нуля весь час, починаючи з деякого моменту. Таким чином, локалізоване обурення вже не видно як локалізоване з іншої точки, тобто хвиля не проходить безслідно, а залишає післядія. Іншими словами, принцип Гюйгенса при n=2 не має місця. Знайдемо ще фундаментальне рішення для двовимірного хвильового оператора. Аналогічно тривимірного нагоди треба вирішити задачу Коші з початковими даними
Але з формули Пуассона ясно, що таке рішення 2 ( t, x) має вигляд
(6)
де? (t) - функція Хевісайда.
Легко безпосередньо перевірити тепер, що функція 2 ( t, x) локально інтегровна і є фундаментальним рішенням двовимірного хвильового оператора. Останнє перевіряється так само, як в тривимірному випадку і ми залишаємо це читачеві як вправа. Нарешті, з формули Даламбера ясно, що фундаментальне рішення для одновимірного хвильового оператора має вигляд
3. Теорема стійкості рішення задачі Коші
Для будь-якого проміжку часу [0, t 0] і? gt; 0. Знайдеться? (?, T 0), таке що будь-які два рішення рівняння u tt=a 2 u xx, u 1 (x, t) і u 2 (x, t) будуть відрізнятися менше, ніж на?:
,
якщо тільки початкові дані
...
