Реферат Диференціальні рівняння в приватних похідних

Тема: Курсовые проекты

Лапласа записується так:

(3.9)

і є окремим випадком рівняння Гельмгольца.

У двовимірному просторі рівняння Лапласа:

. (3.10)

3.4 Початкові і граничні умови

Початкові і граничні умови (НУ та ГУ) - додаток до основного диференціального рівняння, що задає його поведінку в початковий момент часу і на кордоні розглянутій області відповідно.

Зазвичай диференціальне рівняння має не одне рішення, а ціле їх сімейство. Початкові і граничні умови дозволяють вибрати з нього одне, відповідне реальному фізичному процесу або явищу. У теорії звичайних диференціальних рівнянь доведена теорема існування та єдиності розв'язку задачі з початковою умовою (задачі Коші). Для рівнянь в приватних похідних отримані деякі теореми існування та єдиності рішень для певних класів початкових і крайових задач.

При вирішенні нестаціонарних рівнянь математичної фізики маємо завдання з НУ. Для знаходження шуканої функції для них необхідно знати величини, що характеризують її в деякий початковий момент, а так само всі функції збурень (зовнішні сили, джерела) для всіх послідовних моментів часу.

У той же час для рівнянь математичної фізики, що описують стаціонарні явища, таких як рівняння Лапласа і Пуассона, ставляться лише крайові задачі, оскільки возмущающие (зовнішні) сили в цьому випадку, в часі не змінюються, а для аналізу стаціонарної системи потрібно знати поведінку шуканої функції на кордоні області рішення. Зауважимо, що якщо ця область обмежена, то відповідна крайова задача називається внутрішньою, в іншому випадку - зовнішньої.

Існують три найважливіших роду ГУ:

. ГУ-I: (3.11)

- задані значення шуканої функції u на кордоні Г;

. ГУ-II: (3.12)

- заданий потік u через кордон Г, n - вектор зовнішньої нормалі кордону, якщо f (t) =, то це означає непроникність на кордоні;

. ГУ-III: (3.13)

на кордоні (поверхні) тіла відбувається взаємодія (наприклад теплообмін) із зовнішньої (навколишнього) середовищем, що має значення показника, де (для задачі теплопровідності),? і?- Коефіцієнти теплопровідності і теплообміну (в законі теплообміну Ньютона).

Існують ще ГУ сполучення, так звані ГУ четвертого роду:

ГУ-IV: (3.14)

Ці рівності означають нерозривність функції u на кордоні (перша умова) і рівність потоків через кордон Г двох середовищ, тобто при переході через кордон немає втрат (друга умова).

Граничні завдання ставляться таким чином: знайти функцію u, яка задовольняє рівнянню Лапласа у всіх внутрішніх точках області S, а на кордоні області - деякого граничній умові.

У залежності від роду ГУ розрізняють наступні крайові задачі:

у разі ГУ-I:

- завдання Дирихле - (3.15)

перша крайова задача;

у разі ГУ-II:

- завдання Неймана - (3.16)

другий крайова задача;

у разі ГУ-III:

- третя крайова задача. (3.17)

4. Приклади задач для УМФ

.1 Одномірне рівняння теплопровідності

Рівняння, що описує поширення тепла в однорідному стержні має вигляд:

, (4.1)

де u (t, x) - температура, і a - коефіцієнт температуропровідності - позитивна константа, що описує швидкість поширення тепла. Задача Коші ставиться таким чином:

НУ:, (4.2)

де f (x) - довільна функція (початкова умова).

.2 Рівняння коливань струни

Диференціальне рівняння, що описує вільні коливання струни, має вигляд:

. (4.3)

Тут u (t, x) - зміщення струни від положення рівноваги, або надлишковий тиск повітря в трубі, або магнітуда електромагнітного поля в трубі, а c - швидкість поширення хвилі. Для того, щоб сформулювати задачу Коші, тут слід задати зсув і швидкість струни в початковий момент часу:

НУ:

У разі кінцевої струни довгою L для рівняння (4.3) ще треба задати дві ГУ її кінцях:

; (4.6)

. (4.7)

Це приклад змішаної крайової задачі.

.3 Двовимірне рівняння Лапласа

Рівняння Лапласа для невідомої функції має вигляд:

. (4.8)

При постановці крайової задачі для рівняння (4.8) його необхідно доповнити граничними умовами.

Гранична умова для першої крайової задачі (задача Діріхле):

ГУ-I: (4.9)

де f - задана функція у всіх точках P (x, y, z) поверхні Г.