Q з незалежної тимчасової похідною t обмежується подвійною.
) Найвищий порядок похідних n функції Q по просторовим змінним обмежується подвійною.
) Вибирається диференціальне рівняння групи (r, m, n) в потрібній системі координат.
) Рівняння «офізічівается», тобто проводиться конструювання розмірностей. Це означає, що задається первинна розмірність, або вхідному обуренню f (x, y, z, t), або вихідному сигналу Q (x, y, z, t). У залежності тому що цікавить. Далі розраховуються вторинні розмірності виходячи з конкретного виду рівняння і залежна від первинних розмірностей.
) Знаходиться вихідний сигнал і проводиться його зіставлення з очікуваними результатами.
) Якщо результат не влаштовує, вибираємо інше рівняння і повторюємо всі процедури заново.
У багатьох випадках для опису фізичних процесів використовують рівнянь з частими похідними до другого порядку включно.
Так, наприклад, процеси поширення теплової енергії описується рівнянням теплопровідності
,
де і С - щільність і теплоємність речовини,
Т- температура,
k- коефіцієнт теплопровідності,
Q - щільність джерела тепла.
Аналіз стаціонарних станів, наприклад, статичних теплових, електричних, магнітних полях проводять, використовуючи рівняння Пуассона
де u (x, y, z) - функція, що описує статичне поле,
f (x, y, z) - розподілені джерела.
Незважаючи на відмінність процесів, всі вони можуть бути представлені як окремі випадки узагальненої форми диференціального рівняння другого порядку.
Розглянемо рівняння другого порядку з двома незалежними змінними x і y:
(1)
де A, B, C, D- деякі функції, залежні в загальному випадку від x, y, u.
На підставі того, що рівняння 1 можна поставити в квадратичну форму
по природі розрізняють такі типи квазілінійних рівнянь:
1) гіперболічний, якщо В2-4АС gt; 0- його аналогом є хвильове рівняння;
2) параболічний, В2-4АС=0-його аналог рівняння теплопровідності;
) еліптичний, якщо В2-4АС lt; 0- аналог рівняння Пуассона або Лапласа.
. ІДЕНТИФІКАЦІЯ ТИПУ диференціальних рівнянь ЗАВДАННЯ вхідних і вихідних параметрів, початкових і граничних умов
Оскільки дане диференціальне рівняння містить першу похідну за часом, то воно відноситься до параболічного типу. Також це рівняння є неоднорідним.
Вихідним параметром Q (x, y, t) в даній системі є опір мідного дроту.
Вхідним впливом f (x, y, t) є потік тепла від корпусу термоперетворювача опору ТСМ50.
Малюнок 1 Вид вхідного впливу
Граничні умови:
Задамо розмірність вхідного обурення.
,
де F- кількість теплоти (теплою потік)
V-об'єм.
- питома теплоємність міді.
- щільність міді.
-коефіцієнт теплопровідності,
де -Коефіцієнт теплопровідності міді.
Тоді а2=0.884 м2/с.
Нехай l1=18 - довжина дроту.
Початкові умови:
, що відповідає опору ТСМ50 до початку дії теплового потоку.
Граничні умови:
, що відповідає зміні опору на початку дроту.
- що відповідає зміні опору на кінці дроту.
З урахуванням вище описаних умов стандартизує функція прийме наступний вигляд:
. РОЗРАХУНОК вихідної величини
теплової енергія вхідний обурення
Для визначення виду статичної характеристики скористаємося функцією Гріна:
Для цього спочатку зробимо розрахунок вихідний вилікувані за формулою:
Зважаючи явною нерозв'язності інтеграла, в якому присутній сума ряду до нескінченного члена, введемо обмеження на кількість рядів 1, тобто візьмемо перший член ряду. Цей захід є вимушеною і веде до великої похибки.
Таким чином, враховуючи вжиті заходи, одержимо рівняння:
Використовуючи властивості d - функції для спрощення рівняння, побудуємо статичну характеристику вихідної величини при фіксованих значеннях координати і часу.
б
Малюнок - 2 Статична характеристика вихідного сигналу: а - при фіксованому значенні координати;:Б - при фіксованому значенні часу.
. РОЗРАХУНОК ІНТЕГРАЛЬНОЇ передавальної функції. ПОБУДОВА логарифмічною характеристикою
Знайдемо зображення по Лапласа стандартизує функції.
Виділимо в явному вигляді компонен...
