ття алгебраїчної лінії, а також порядок лінії не залежить від вибору аффинной системи координат.
Візьмемо на площині аффинную систему координат. Нехай в цій системі координат лінія у визначається рівнянням (1), де F (х, у) - багаточлен ступеня n. Задамо іншу аффинную систему координат Координати x, y довільної точки М площині в системі. виражаються через її координати x laquo ;, у в системі:
, (2)
.
Щоб отримати рівняння лінії? в системі, треба в рівнянні (1) замінити х, у їх виразами за формулами (2). Одержимо рівняння
. (3)
Многочлен F (x, y) є сума членів виду. Після заміни x, y їх виразами (2) замість члена отримаємо вираз:
. (4)
Таким чином, G (x laquo ;, у ) є сума виразів виду (4), і тому G (x laquo ;, у ) - многочлен від змінних x laquo ;, у raquo ;. Отже, поняття алгебраїчної лінії не залежить від вибору аффинной системи координат.
Доведемо тепер, що G (x laquo ;, у ) - багаточлен ступеня n. Нехай m- ступінь цього многочлена. Якщо у виразі (4) розкрити дужки і привести подібні члени, то отримаємо суму членів виду, де в кожному такому члені. Звідси випливає, що m? n. Будемо тепер вважати, що - стара система координат, а - нова. Тоді по доведеному n? m. Отже, m? n, n? m, m=n.
Зауваження: розбивка множини ліній площині наалгебраіческіе і неалгебраїчні засноване на використанні аффинной системи координат. Для такого розбиття безлічі ліній система полярних координат непридатна. Наприклад на малюнку 1 пряма l в полярній системі координат має рівняння, де а=ОА. Це рівняння не є алгебраїчним. Рівняння тій же прямій l в системі є алгебраїчним:. [1]
Малюнок 1
. 3 Загальне рівняння прямої
Рівняння будь-якої прямої в афінної системі координат є рівнянням першого ступеня, т. е. може бути записано у вигляді
Ах + Ву + С=0, (5)
де числа А і В одночасно не рівні нулю.
Таким чином, пряма є алгебраїчною лінією першого порядку.
Доведемо зворотне твердження.
Теорема 1: лінія на площині, задана в афінної системі координат рівнянням першого ступеня Ах + Ву + С=0 (5), є пряма. Вектор (- В, А) є направляючим вектором цієї прямої. Напрямних вектором прямої називається будь-який ненульовий вектор, паралельний даній прямій.
Нехай?- Лінія, задана рівнянням (5), а M 0 (x 0, y 0) - деяка її точка, тобто точка, координати якої задовольняють рівняння (5):
Аx 0 + Вy 0 + С=0. (6)
Така точка завжди існує, так як А і В одночасно не рівні нулю. Визначивши з рівності (6) С і підставивши в рівняння (5), одержимо рівняння лінії? у вигляді Ах + Ву - Аx 0 - Вy 0=0, або A (xx 0) - ((- B) yy 0)=0. Це рівняння має в точності вид a 2 (xx 0) -a 1 (yy 0)=0 і, отже, визначає пряму, що проходить через точку M 0 (x 0, y 0) з напрямним вектором (- В, А). Таким чином, будь-яке рівняння першого ступеня (5) в афінної системі координат визначає пряму лінію. Іншими словами, будь-яка алгебраїчна лінія першого порядку є пряма лінія. Рівняння (5) називається загальним рівнянням прямої, а x і y називаються поточними координатами точки прямій. [1]
. Класифікація алгебраїчної лінії
. 1 Алгебраїчна лінія першого і другого порядку
Для отримання лінії першого порядку треба прирівняти нулю многочлен першого ступеня. Він може містити тільки члени першого ступеня і вільний член. Тому рівняння лінії першого порядку в загальному вигляді таке:
Ах + Ву + С=0, (7)
причому коефіцієнти А, В не можуть обидва дорівнювати нулю.
Тут можуть бути два випадки:
) Якщо У? 0, то, виробляючи поділ на В і позначаючи
, (8)
Отримаємо
=kx + b. (9)
Малюнок 2 - Зображення рівняння прямої лінії
Це рівняння прямої лінії, зображеної на малюнку 2.
) Якщо ж В=0, то, ділячи на А і позначаючи, отримуємо рівняння х=а, тобто пряму, паралельну осі у. Відзначимо, що для таких прямих кутовий коефіцієнт, що також випливає з виразу (8), а рівняння записати у формі (9) неможливо. Отже, лінії першого порядку - це прямі лінії.
Розглянемо кілька простих завдань на прямі лінії.
. Через задану точ...
