ку (x 1, y 1) провести пряму з даними кутовим коефіцієнтом k. Звичайно, в аналітичної геометрії «провести пряму» означає «написати рівняння прямої». Шукане рівняння має вигляд (9), але b в ньому невідомо. Проте, раз пряма проходить через дану точку, то координати цієї точки повинні задовольняти рівнянню прямої: y 1=kx 1 + b. Виробляючи віднімання, виключаємо b і отримуємо шукане рівняння
. (10)
алгебраїчний лінія окружність координата
Якщо в цьому рівнянні міняти k, то ми отримаємо пучок всіляких прямих, що проходять через точку (x 1, y 1). Можна припустити і, тобто отримати вертикальну пряму, однак, для цього треба попередньо обидві частини розділити на k, тоді після підстановки вийде просто, тобто. Аналогічні заходи приймаються і в інших завданнях, коли параметри приймають нескінченні значення.
. Провести пряму через дві дані точки (x 1, y 1) і (x 2, y 2). Рівняння шуканої прямої має вигляд (10), але k невідомо. Однак з умови проходження через другу точку отримуємо:, звідки, виробляючи поділ, виключаємо k:
(11)
Відзначимо, що в цьому рівняння, як і в рівнянні (10), x і y - змінні координати поточної (любой) точки шуканої прямої.
Рівняння лінії другого порядку має вигляд:
2 + 2Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F=0, (12)
де коефіцієнти А, В, С не можуть дорівнювати нулю (2B, а не просто В, пишуть тільки для спрощення виходять формул).
Тут можливі три випадки: еліптичний (), гіперболічний () і параболічний (). [2]
. 2 Окружність
Доведемо, що окружність є алгебраїчною лінією другого порядку. Для цього візьмемо на площині прямокутну систему координат і в цій системі координат складемо рівняння кола? радіуса rc центром в точці C (a, b).
Точка М (x, y) площині належить окружності? тоді і тільки тоді, коли СМ=r або CM 2=r 2. Це рівність в координатах запишеться так:
. (13)
Це і є рівняння кола?.
Дійсно, якщо точка M 0 (x 0, y 0) лежить на колі, то, тобто , Тому координати точки M 0 задовольняють рівнянню (13), а якщо точка M 1 (x 1, y 1) не лежить на колі, то, тобто і, значить, координати точки M 1 не задовольняють рівнянню (13). Отже, доведено, що рівняння (13) є рівняння кола радіуса r з центром в точці C (a, b).
Зокрема, якщо центр кола збігається з початком Про координат, то a=b=0, тому рівняння (13) приймає вигляд:
. (14)
Рівняння (13) можна записати у вигляді
, (15)
де A=- 2a, B=- 2b, C=a 2 + b 2 -r 2.
Таким чином, рівняння будь окружності в прямокутній системі координат має вигляд (15), тобто окружність є алгебраїчною лінією другого порядку.
Розглянемо тепер зворотну задачу, тобто з'ясуємо, що собою являє алгебраїчна лінія другого порядку, задана рівнянням (15). Перепишемо це рівняння так:
,
Або
.
Порівнюючи отримане рівняння з рівнянням (13), бачимо, що якщо, то лінія, задана рівнянням (15), є колом з центром і радіусом.
Окружність є прикладом алгебраїчної лінії другого порядку. Крім окружності існують і інші алгебраїчні лінії другого порядку.
Відзначимо, що існує нескінченна безліч неалгебраїчні ліній. Так, лінії, що визначаються в прямокутній системі координат рівняннями,,, () та ін., Є прикладами неалгебраїчні ліній. Дійсно, якщо припустити, що яка-небудь з цих ліній алгебраїчна, то по теоремі 1 ця лінія в будь аффинной системі координат, у тому числі в системі, визначається рівнянням виду (1), де F (x, y) - многочлен. Але це неможливо, так як можна довести, що жодна з функцій sin x, tg x, lg x, ax не може бути представлена ??у вигляді многочлена. [1]
. Завдання
Приклад №1. (координати центру і радіус кола)
Знайти координати центру кола 2? x 2 + 2? y 2 - 8? x + 5? y - 4=0.
Рішення:
Для того, що б множник при x 2 і y 2 були рівні одиниці, ділимо обидві частини рівності на 2 і перегруповуються члени виразу
Добудуємо вираження у фігурних і квадратних дужках до повних квадратів, додавши до фігурної дужки 4, а квадратним (одночасно додаючи ті ж величини і праворуч):
Або
Відпо...
