, то воно називається звичайним диференціальним рівнянням. Диференціальне рівняння виду (1.1) являє приклад вище описаного рівняння:
. (1.1)
Якщо ж входить до диференціальне рівняння невідома функція залежить від декількох незалежних аргументів, то воно називається рівнянням в приватних похідних. Прикладом служить рівняння
, (1.2)
яке містить невідому функцію.
Порядком диференціального рівняння називається найбільший порядок входить у рівняння похідної. Так диференціальні рівняння (1.1) і (1.2) - це рівняння другого порядку.
Рішенням диференціального рівняння називається функція, яка при підстановці в диференціальне рівняння звертає його в тотожність.
Наприклад, легко перевірити, що функція є рішення диференціального рівняння. Процес рішення диференціального рівняння називається інтегруванням рівняння. Звичайне диференціальне рівняння n-го порядку можна представити у вигляді:
(1.3)
Містить невідому змінну, невідому функцію і її похідні,, ...,.
Графік рішення диференціального рівняння називається інтегральною кривою.
Рівняння вважається проинтегрировал, якщо його рішення знайдено в явному вигляді або визначається неявно рівнянням виду незалежно від того, чи вдається дозволити це рівняння щодо невідомої функції чи ні. Рівняння, яке визначає рішення диференціального рівняння, називається інтегралом цього диференціального рівняння.
. 2 Поняття про рівняння в повних диференціалах
Розглянемо такий тип рівнянь, які не завжди допускають інтегрування в квадратурах. Цей тип, внаслідок того, що до нього зводяться багато інших рівняння, має важливе значення в теорії диференціальних рівнянь. Йдеться про зрівняння в повних диференціалах. Так називається рівняння
, (1.4)
ліва частина якого представляє собою повний диференціал деякої функції від і, т.е.
. (1.5)
Щодо функцій і ми будемо припускати, що вони неперервні по обидва змінним в деякій області.
Рівняння в повних диференціалах можна записати так:
. (1.6)
Тому загальний інтеграл його має вигляд
. (1.7)
При цьому функція є інтегралом рівняння (1.4).
Особливих рішень рівняння в повних диференціалах, очевидно, не має. Приклад 1. Розглянемо рівняння
. (1.8)
Ліва частина цього рівняння являє собою повний диференціал функції
. (1.9)
Тому загальний інтеграл розглянутого рівняння має вигляд
, або. (1.10)
Приклад 2. Візьмемо рівняння
. (1.11)
Розкриємо дужки і згрупуємо член так, щоб кожна група представляла собою повний диференціал:
. (1.12)
. (1.13)
Замінюючи суму диференціалів на диференціал суми, отримуємо:
,. (1.14)
Отже, рівняння (1.11) є рівнянням в повних диференціалах, а рівність
(1.15)
є його загальний інтеграл.
Ясно, що побудова функції подібної угрупованням доданків можливо лише в тому випадку, якщо заздалегідь відомо, що ліва частина рівняння являє собою повний диференціал. Але навіть тоді коли це і відомо, нам не завжди вдається легко поободрать відповідну угруповання доданків.
Тому виникають два питання:
) Як дізнатися по виду рівняння (1.4), чи є воно рівняння в повних диференціалах?
) У разі позитивної відповіді на перше питання, як побудувати функцію і, отже, загальний інтеграл рівняння (1.4)?
.3 Ознака рівняння в повних диференціалах. Побудова загального інтеграла
Припустимо, що функції і мають безперервні приватні похідні відповідно по і по. Нехай ліва частина рівняння (1.4) являє собою повний диференціал, т.е.
.
Це рівнозначно тому, що мають місце тотожності
. (1.16)
Диференціюючи перше з цих тотожностей по, а друге за, отримуємо тотожності
(1.17)
ліві частини отриманих тотожностей рівні між собою, а тоді рівні й праві, т.е.
. (1.18)
Умова (1.18) є необхідним для того, щоб ліва частина рівняння (1.4) була повним диференціалом. Покажемо, що ця умова є і достатнім.
Дійсно, нехай умова (1.18) виконано. Покажемо, що тоді існує функція, що задовольняє співвідношенню (1.5) або, що те ж, обом равенствам (1.16).
Будемо виходити з першого з рівностей (1.16):
. (1.19)
Неважко переконатися, що йому задовольняє функція
, (1.20)
де - довільна функція від, яку ми будемо вважати дифференцируемой і виберемо її так, щоб функція...
