(1.20) задовольняла і другому рівності (1.16), тобто щоб
, (1.21)
. (1.22)
Використовуючи умову (1.18), перепишемо це рівність так:
. (1.23)
Виконуючи інтегрування, отримуємо:
,
звідки
,
отже,
, (1.24)
де - вже довільна постійна. Підставляючи знайдене вираз функції в формулу (1.20), одержуємо шукану функцію:
, (1.25)
що й доводить достатність умови (1.18). Отже, тотожне виконання рівності (1.18) є необхідною і достатньою ознакою рівняння в повних диференціалах.
Взявши одну з функцій (1.25), наприклад, ту, у якої, і прирівнявши її довільної сталої, отримаємо загальний інтеграл рівняння (1.4) в наступному вигляді:
. (1.26)
Якщо при побудові функції брати за вихідне другий з рівностей (1.16), то ми отримаємо для загального інтеграла симетричне вираз
. (1.27)
У формулах (1.26) і (1.27) нижні межі інтегрування і можна вибирати довільно, але так, щоб отримувані інтеграли мали сенс. Вдалий вибір і в багатьох випадках полегшує завдання інтегрування рівняння.
Приклад 1. Розглянемо знову рівняння (1.11):
.
,,, (1.28)
так що умова (1.18) виконано. Для отримання загального інтеграла скористаємося формулою (1.26), де покладемо, тоді отримаємо
. (1.29)
Виконуючи інтегрування, отримаємо загальний інтеграл знову у вигляді (12).
Приклад 2. Дано рівняння
. (1.30)
Умова (1.18) виконано. Застосуємо формулу (1.26), поклавши,, отримаємо:
,. (1.31)
(Ми не можемо вважати, так як другий з інтегралів виявився б розбіжним).
Глава 2. Інтегруючий множник. Найпростіші випадки знаходження інтегруючого множника
. 1 Загальна теорія
Рівняння в повних диференціалах завжди інтегрується в квадратурах. Тому природно виникає питання: чи не можна рівняння не в повних диференціалах привести до вигляду рівняння в повних диференціалах? Виявляється, що в багатьох випадках це можна зробити. А саме, вдається знайти функцію, після множення на яку рівняння
(2.1)
перетворюється в рівняння
(2.2)
в повних диференціалах, т.е.
. (2.3)
Така функція називається інтегруючим множником, а функція - відповідним йому інтегралом рівняння (2.1). Загальний інтеграл рівняння (2.1) дається рівністю
. (2.4)
Застосовуючи ознака повного диференціала до рівняння (2.2), знаходимо, що інтегруючий множник повинен задовольняти рівнянню
. (2.5)
Запишемо це рівняння в розгорнутому вигляді:
,
. (2.6)
Це - рівняння з приватними похідними з відомою функцією.
Тим самим ми з'ясовували роль інтегруючого множника для отримання рівняння в повних диференціалах. Доведемо, що при деяких умовах, що гарантують існування загального інтеграла існує і інтегруючий множник.
Теорема (про існування інтегруючого множника). Якщо рівняння
(2.7)
(2.8)
в деякій області, що не містить всередині себе точок, де і звертаються одночасно в нуль, причому функція має і інтегруючий множник.
Дійсно, так як є загальний інтеграл рівняння (2.7), то в силу цього рівняння, тобто ми маємо:
, (2.9)
де визначається рівнянням (2.7), так що і задовольняють системі рівнянь:
(2.10)
Ця однорідна система має ненульовий рішення (бо, як диференціал незалежної змінної довільний). Тому
(2.11)
. (2.12)
,. (2.13)
, (2.14)
т.е. ліва частина рівняння (2.7) ставати повним диференціалом після множення на функцію, яка визначається рівністю (2.12). Отже, є інтегруючий множник рівняння (2.7).
Приклад 1. Дано рівняння
. (2.15)
Інтегруючи це лінійне рівняння, отримуємо загальний інтеграл у вигляді
. (2.16)
Звідси, відповідно (2.12):
. (2.17)
З іншого боку, наше рівняння є однорідне. Тому воно має інтегруючий множник
, (2.18)
а відповідним йому загальним інтегралом буде
. (2.19)
У розглянутому прикладі ми знайшли два інтегруючих множника для одного і того ж рівняння. Крім того, впадає в очі зв'язок між знайденими інтегралами:. Ці властивості «неєдиним» інтегруючого множника і наявності залежності між інтегралами одного і того ж рівняння мають місце і для всякого рівняння, у якого забезпечено існування загаль...
