повільні складові, Із правильністю розрахунку якіх впорається далеко не всякий метод інтегрування. Таким чином, в обчіслювальній математіці з'явилась необхідність виявило властівостей чисельного методів інтегрування, Які вплівають на витрати та точність розрахунків. У Данії годину Прийнято Характеризувати ці методи точністю и стійкістю.
Точність візначається помилки, Які вінікають во время розрахунків. Для порівняння методів вводитися Поняття "локальна помилка ", яка стосується одного Кроку інтегрування. При цьом ЯКЩО метод спірається на результати попередніх кроків, пріпускається, что Перші дані точні. Локальна помилка Складається з методичної та помилки округлення. Перша покладів від методу, друга від аріфметічної точності ЕОМ. У практично використаних методах локальна методична помилка винна допускаті оцінку. Крім того, має місце локальна перехідна помилка, яка зобов'язана своим існуванням похібкам на попередня кроці.
Для користувача ВАЖЛИВО загальна, глобальна помилка, відповідальна за весь Інтервал інтегрування. Зв'язок локальної помилки Із загальною доладно. Тому при аналізі методом глобальна помилка НЕ розглядається, а уяву про неї одержують за помощью тестових прікладів.
Друга характеристика методів чисельного інтегрування - їх стійкість. Практичний прояв ее віглядає так. Припустиме, інтегруємо тестовому діференційне рівняння, для Якого відомо точне решение. Обчислення проводимо кілька разів з постійнім кроком, збільшуючі крок від одного розрахунку до Іншого. До деякої Величини Крока, якові звуть критичність, похібка інтегрування Постійно зростає. Альо як Тільки крок перейдемо критичності значення, а похібка різко зростає (вінікає чисельного нестійкість) i Отримані результати однозначно відрізняються від справжніх. Із сказаного віпліває, что нестійкій метод не Придатний для задач, де вінікає потреба інтегрування діференційніх рівнянь ПРОТЯГ трівалого годині: щоб унікнуті чісельної нестійкості, звітність, змінюваті крок, а це збільшує кількість кроків и виробляти до ЗРОСТАННЯ Загальної похібкі через Накопичення усіх Видів помилок - Перехідної, округленої, методичної. p> Методи чисельного інтегрування розрізняються в точності, стійкості и ряді других властівостей. Наведемо прийнятя в літературі класіфікацію и вкажемо Властивості методів, належноє до окрем класів.
Методи поділяються на Дві Великі групи. Відмінна особлівість обох груп - способ апроксімації заданої Функції. У першій групі вікорістовується розклад в ряд Тейлора, в Другій - апроксімація Функції поліномом з тейлорівськім розкладанням. Широке Розповсюдження отримай методи Другої групи, котрі у вітчізняній літературі ЗВУТ кінцево-різніцевімі.
спектральний інтегрування нелінійній періодічній
Формула довільного кінцево-різніцевого методом, відносно до решение діференційного рівняння при початкових Умова, запісується так
, (1)
де,
- крок інтегрування.
Число p задає кількість попередніх кроків, Які візначають Значення шуканої Функції. При р = 0 метод звет однокроковім. Если, то метод явній, при - неявні. У последнего випадка Шуканов значенні входити до правої Частини (1) як аргумент нелінійної Функції. Співмножнікі, (їх число дорівнює 2р +3) шукається методом невизначенності Коефіцієнтів при поліміальній апроксімації невідомої Функції. Число m назівають порядком методу. За помощью невизначенності Коефіцієнтів складають m +1 рівняння відносно,. Колі 2p +3> m +1, тоді Частинами співмножніків задаються.
відомі формули Ейлера - явна
В
та неявні
В
відносяться до однокрокового методом Першого порядку. Его локальна методи-чна похібка оцінюється завбільшки. Если Зберегти порядок методом и сделать его багатокроковім, то підбором співмножніків в (1) можна Зменшити методичну похібку. Таким чином, точність кінцево-різніцевіх методів зростає Із збільшенням їх порядку и числа попередніх кроків, Які враховуються. Однак вимагає маті на увазі, что Підвищення порядку супроводжується зменшеності области стійкості.
На перший погляд уявляється, что явні методи мают ПЕРЕВАГА над неявними того, что в останніх Значення виходе Із решение нелінійного рівняння, а в явніх Розраховується за аналітічнім вирази. Альо як свідчіть аналіз, неявні методи більш стійкі. Отож, смороду допускаються при заданій точності більшій крок. p> У Данії годину в алгоритмах чисельного інтегрування проблемно-орієнтованих програм вікорістовується кінцево-різніцеві методи, Які мают Бажану стійкість та дозволяють оцінюваті локальності методичну похібку на шкірному кроці. За помощью цієї ОЦІНКИ підтрімується Максимальний розмір Кроку и вібірається мінімальній порядок методу. Для Зменшення об'єму розрахунків у неявні методи Розраховується спочатку за відповідною явною формулою (прогноз), а потім уточнюється за помощью неявної (Корекція). После Вибори методом чисельного інтегрування програміст основні ...
