> aik
= xk у ВСІ рівняння системи (1), отрімаємо лінійну балансових модель
x1 - (a11x1 + a12x2 +. + a1nxn) = y1
x2 - (a21x1 + a22x2 +. + a2nxn) = y2 (6)
.............
xn - (an1x1 + an2x2 +. + annxn) = yn
что характерізує баланс витрати - випуск ПРОДУКЦІЇ, уявлень в табл. 1
Система рівнянь (6) может буті записана компактніше, ЯКЩО використовуват матричний форму запису рівнянь:
___
Ех В· - Ах = В· У, або остаточно
__
(Е - А) В· х = В (6 ') В·'
де Е - одінічна матриця n-го порядком и
1-a11 - A 12 . - A 1n
E - A = - a 21 1-a22. - A 2n
.......
- a n1 - A n2 . 1-ann
Рівняння (6) містять 2 n змінніх (xi и yi). Тому, Задані значення n змінніх, можна з системи (6) найти Решті n - змінніх.
Віходітімемо Із заданого асортиментного вектора У = (y1, y2., yn) i візначаті необхідній для его виробництва вектор-план Х = (х1, х2. хn ) .
Проілюструємо віщевікладене на прікладі гранично спрощеної системи, что Складається з двох виробничих Галузії.
Розраховуємо за Даними цієї табліці КОЕФІЦІЄНТИ прямих витрат
100160275 40
а11 = - = 0.2; а12 = - = 0.4; а21 = - = 0.55; а22 = - = 0.1
+500400500400
Ці КОЕФІЦІЄНТИ запісані в табл. 2 в Кутах відповідніх кліток. p> Тепер может буті записана балансова модель (6), відповідна данім табл. 2
х1 - 0.2х1 - 0.4х2 = У1
х2 - 0.55х1 - 0.1х2 = у2
Ця система двох рівнянь может буті Використана для визначення х1 и х2 при завданні значень у1 и у2 , для Використання впліву на валовий випуск будь-яких змін в асортименті кінцевого продукту и так далі
Так, Наприклад, задавшись у1 = 240 і у2 = 85, отрімаємо х1 = 500 и х2 = 400, задавшись у1 = 480 и у2 = 170, отрімаємо х1 = 1000 и х2 = 800 и так далі
Вирішення Балансова рівнянь помощью зворотної матріці. КОЕФІЦІЄНТИ ПОВНЕ витрат
Повернемося вновь до РОЗГЛЯДУ балансового рівняння (6).
Перше питання, Яке вінікає при его Дослідження, це питання про Існування при заданому векторі У> 0 ненегатівного Вирішення х> 0, тоб про Існування вектор-планом, что Забезпечує Данії асортимент кінцевого продукту У. Будемо назіваті таке Вирішення рівняння (6 ') припустимо рішенням.
Відмітімо, что при будь-якій ненегатівній матріці А затверджуваті Існування ненегатівного решение НЕ можна.
Так, Наприклад, ЯКЩО
0.9 0.8 0.1 -0.8 и рівняння (6 ')'
А =, то Е - А =
0.6 0.9 -0.6 0.1
запише у вігляді 0.1 -0.8 х1 у1 або в розгорненій ФОРМІ
-0.6 0.1 х2 у2
0.1х1 - 0.8х2 = у1 (a) a
-0.6х1 + 0.1х2 = у2
Склавші ці два рівняння почленно, отрімаємо рівняння
-0.5х1 - 0.7х2 = у1 + у2
Яке НЕ может задовольнятіся ненегатівнім значень х1 и х2 , ЯКЩО Тільки у1> 0 и у2> 0 (окрім х1 = х2 = 0 при у1 = у2 = 0).
Нарешті рівняння взагалі может НЕ мати РІШЕНЬ (система (6) - несумісна) або мати незліченну безліч РІШЕНЬ (система (6) - невизначе).
Следующая теорема, доказ Якої ми опускаємо, Дає відповідь на поставлене харчування.
Теорема. Если існує хоч один ненегатівній вектор х> 0 , что задовольняє нерівності (Е - А) В· х> 0, тоб ЯКЩО рівняння (6 ') має ненегатівне Вирішення x> 0 , хоч бі для одного У> 0, то воно має для будь-якого У> 0 єдине ненегатівне решение.
При цьом віявляється, что зворотна матриця (Е - А) буде обов'язково ненегатівною.
Із способу Утворення матріці витрат виходе, что для попередня періоду віконується Рівність (Е - А) В· х '= У', де вектор-план х ' и асортиментного вектор У ' візначаються по Виконання балансу за минуло Период, при цьом У> 0 '. Таким чином, рівняння (6 ') має Одне ненегатівне Вирішення x > 0 . На підставі теореми укладаємо, что рівняння (6 ') всегда має допустимих планів и матриця (Е - А) має зворотнього матрицю.
позначені зворотнього матриці (Е - А) -1 через S = | | sik + | | , запішемо Вирішення рівняння (6'') у вігляді
__
х = SУ (В· 7)
Если буде завдань вектор - кінцевій продукт У и Обчислено матриця S = (E - A) -1 , то по Цій Формулі может буті визначеня вектор-план х .
Рішення (7) можна представіті в розгорненій ФОРМІ
x1 = S11y1 + S12y2 +. + S1nyn
x2 = S21y1 ...
