вняння для перехідного процесу в електричному ланцюзі і записуємо його в загальне рішення
IL (t) = Iсв (t) + Iпр
Визначаємо початкові умови
В
E = R1 * iL iL = E/R1
iL = 70В/2 кОм = 35Трав
Записуємо рішення диференціального рівняння для вільної складової у вигляді
I св (t) = A * e p * t
В
В
Z p = 0
p = - (R1 + R2)/L p = -25 * 10 5
П„ = 1/| p | П„ = 4 * 10 -7 (c)
Визначається примушена складова при t = в€ћ
iпр = 0
В
Визначається постійна інтегрування А
IL (-0) = A * e pt = A * e 0 * t = A
Струм через індуктивність дорівнює:
I L (t) = 35 * 10 -3 * E -2500000 t
Напруга на індуктивності одно:
U L (t) =-L (Du/dt) =-AL * p * (E/R1) * E pt p> U L (t) = 175 * E -2500000 t
Напруга на R1 одно:
U R1 (t) = 70 * e -2500000t
В
В В
В
В В
Перехідні процеси в RLC ланцюгах
Лінійні ланцюга 2-го порядку містять два різнотипних реактивних елемента L і C. Прикладами таких ланцюгів є послідовний і паралельний резонансні контури (рис.1). br/>В
а б
Рис. 1. Лінійні ланцюга другого порядку: а - послідовний резонансний контур, б - паралельний резонансний контур
Перехідні процеси в коливальних контурах описуються диференціальними рівняннями 2-го порядку. Розглянемо випадок розряду ємності на RL ланцюг (рис.2). Складемо рівняння ланцюга за першим законом Кірхгофа:
, (1)
де
В
Після диференціювання (1) отримаємо
. (2)
В
Рис. 2. Включення RLC ланцюга на постійне напруга
Рішення U з (t) рівняння (2) знаходимо як суму вільної U св (t) і примушеної U пр складових
U з = U св + U пр . (3)
U пр залежить від Е, а U св (t) визначається рішенням однорідного диференціального рівняння виду
. (4)
Характеристичне рівняння для (4) має вигляд
LCp ВІ + RCp + 1 = 0, (5)
Коріння характеристичного рівняння
.
Величину R/2L = О± називають коефіцієнтом загасання, - резонансною частотою контуру. При цьому
.
Характер перехідних процесів в контурі залежить від виду коренів p 1 і p 2 . Вони можуть бути:
1) речові, різні при R> 2ПЃ, Q <0,5;
2) речові і рівні при R = 2ПЃ, Q = 0,5;
3) комплексно-зв'язані при R <2ПЃ, Q> 0,5. p> Тут - характеристичний опір, Q = ОЎ/R - добротність контуру. p> У схемі рис. 2 до комутації при t <0 ємність заряджена до напруги U c (0 - ) = E. Після комутації ємність починає розряджатися і в контурі виникає перехідний процес. У разі 1 при Q <0,5 рішення рівняння (2) має вигляд
(6)
Для знаходження постійних інтегрування А 1 і А 2 запишемо вираз для струму в ланцюзі
.
Використовуючи початкові умови U c (0 - ) = E і i (0 - ) = 0, отримуємо систему рівнянь
(7)
З рішення системи маємо
.
У результаті для струму і напружень в контурі отримаємо
В
Перехідні процеси в ланцюгах другого порядку
В
E = 70В
L = 2мГн
С = 9мкФ
R = ПЃ/4
Визначення незалежної змінної.
I L - Незалежна змінна
Складаємо диференціальне рівняння для перехідного процесу в ланцюзі і записуємо загальне рішення.
I L (t) = i св (t) + i пр
Визначимо початкові умови.
t = 0
В
I L (0) = E/R = 19.799А
Запишемо рішення дифф. рівняння для вільної складової.
i св (t) = A * e О±t * sin (wt + Оё)
В
Z вх = 2R + jwL +1/jwC
2R + pL +1/pC = 0
LCp 2 +2 RCP +1 = 0
p =-883.833-7.016i * 10 3
П„ = 1/| О± | = 1.131 * 10 -3
T = 2ПЂ/w = 8.956 * 10 -4
Визначимо примушені складові при t = в€ћ
В
i пр = 0
Визначимо постійний інтегрування Aи Оё
U L (t) = LAО±we О±t * sin (wt + Оё)
i L (t) = Ae О±t * sin (wt + Оё)
...
