аксіомами.
Інші поняття, що вивчаються в теорії, визначаються через первинні, і з аксіом і визначень виводяться теореми. Теорія стає рекурсивно структурованої, її можна представити у вигляді матрьошки, в якій поняття та їх властивості як би є вкладеними один в одного. Кожна математична теорія є ланцюжком висловлювань, які виводяться один з друга згідно з правилами логіки, тобто об'єднуючим початком математики є "Дедуктивне міркування". Розвиток математичної теорії в такому стилі - це перший крок у напрямку до її формалізації.
Відкриття неевклідових геометрій і створення теорії множин призвели до перебудови всієї будівлі математики і створенню абсолютно нових її галузей. Важливе значення набула в сучасній математиці математична логіка. Методи математики широко використовуються в точному природознавстві. Застосування її в біології та суспільних науках до останнього часу носило випадковий характер. Створення (під безпосереднім впливом практики) таких галузей, як лінійне програмування, теорія ігор, теорія інформації, і поява електронних математичних машин відкривають тут зовсім нові перспективи. Філософські питання математики (характер і походження математичної абстракції, її особливості) завжди були ареною боротьби між матеріалізмом і ідеалізмом. Особливо важливе значення мають філософські питання, що виникли у зв'язку з проблемами підстав математики.
Математика відіграє важливу роль в природничонаукових, інженерно-технічних і гуманітарних дослідженнях. Причина проникнення математики у різні галузі знань полягає в тому, що вона пропонує вельми чіткі моделі для вивчення навколишньої дійсності на відміну від менш загальних і більш розпливчастих моделей, пропонованих іншими науками. Без сучасної математики з її розвиненим логічними і обчислювальним апаратом був би неможливий прогрес в різних областях людської діяльності. Математика є не лише потужним засобом вирішення прикладних завдань і універсальним мовою науки, але також і елементом загальної культури.
Сучасна математика має такі основні розділи:
1. Елементарна математика: алгебра, геометрія і тригонометрія (на площині та сфері).
2. Аналітична геометрія (на площині і в просторі). p> 3. Функції та межі. Диференціальне та інтегральне числення. p> 4. Векторний аналіз. Системи криволінійних координат. p> 5. Функції комплексної змінної. p> 6. Перетворення Лапласа та інші інтегральні перетворення. p> 7. Диференціальні рівняння. p> 8. Максимуми і мінімуми. p> 9. Математичні моделі. Абстрактна алгебра і абстрактні простору.
10. Матриці. Квадратичні і ермітовим форми. p> 11. Лінійні векторні простори і лінійні оператори. Матричне подання лінійних перетворень. p> 12. Інтегральні рівняння, крайові задачі і задачі про власні значеннях. p> 13. Тензорна алгебра і тензорний аналіз. p> 14. Диференціальна геометрія. p> 15. Теорія ймовірностей. p> 16. Теорія випадкових процесів. p> 17. Математична статистика. p> 18. Чисельні методи та кінцеві різниці. <В
2. Основні поняття математики
В
Число , одне з основних понять математики. У зв'язку з рахунком окремих предметів виникло поняття про цілих позитивних (натуральних) числах, а потім ідея про безмежність натурального ряду чисел: 1, 2, 3,4 ... Завдання виміру довжин, площ тощо, а також виділення часток іменованих величин призвели до поняття раціонального (дробового) числа. Поняття про негативні числах виникло у індійців у 6-11 ст. Потреба в точній вираженні відносин величин (напр., відношення діагоналі квадрата до його стороні) привела до введення ірраціональних чисел, які виражаються через раціональні числа лише наближено; раціональні та ірраціональні числа становлять сукупність дійсних чисел. Остаточне розвиток теорія дійсних чисел отримала в зв'язку з потребами математичного аналізу. У зв'язку з рішенням квадратних і кубічних рівнянь були введені комплексні числа.
Подільність, властивість цілого числа ділитися на інше ціле число без залишку. Найпростіші ознаки подільності: число ділиться на 2, якщо його остання цифра ділиться на 2; на 3 або на 9, якщо сума цифр ділиться відповідно на 3 або на 9; на 5, якщо воно закінчується на 0 або 5.
Одиниця , найменше з натуральних чисел n = 1. У сучасній математиці поняття одиниці (одиничного елемента) розглядають у алгебраїчних структурах більш загальної природи (напр., групах).
Додавання , арифметична дія. Позначається знаком + (плюс). В області цілих позитивних чисел (натуральних чисел) в результаті складання за даними числах (доданком) знаходиться нове число (сума), що містить стільки одиниць, скільки їх міститься у всіх доданків. Дія складання визначається також для випадку довільних дійсних чи комплексних чисел, векторів і т.д.
Віднімання , арифметична дія, зворотне додаванню, тобто знаходження одного з доданків (різниці) з даної сумою двох доданків (зменш...
