якщо разомкнутая система стійка (і, отже, l = 0), то, для того щоб замкнута система була стійка, необхідно і достатньо, щоб амплітудно-фазова частотна характеристика її розімкнутої системи не охоплювала точку (-1, j0).
Приклад. Дана замкнута система (рис. 2, а). Оцінити стійкість системи за умовою Найквіста.
Для цього необхідно отримати частотну передавальну функцію розімкнутої системи і побудувати АФЧХ. br/>
;
Частотна передавальна функція її розімкнутої системи
W (jw) = U (w) + jV (w),
U (w) = -2/(W 2 + 1),
V (w) =-2w/(w 2 + 1).
Для побудови АФЧХ складемо таблицю:
w
0
w> 0
В® ВҐ
U (w)
V (w)
-2
0
<0
<0
В® 0
В® 0
Амплітудно-фазова частотна характеристика розімкнутої системи (рис. 3, б) охоплює точку (-1, j0) в позитивному напрямку 1/2раз. Необхідно скласти характеристичне рівняння розімкнутої системи:
В
Характеристичне рівняння розімкнутої системи має один правий корінь, тобто l = 1. Тому замкнута система по Критерієм Найквіста стійка, оскільки АФЧХ розімкнутої системи охоплює точку (-1; j0) ВЅ рази в позитивному напрямку. Алгебраїчні критерії та критерій Михайлова застосовуються для дослідження стійкості та розімкнутої і замкнутої систем.
В
Рис. 3. Структурна схема і амплітудно-фазова частотна характеристика
Якщо характеристичне рівняння розімкнутої системи має u (u Ві 1) нульових коренів або, щось же, передавальна функція розімкнутої системи має вигляд
W (s) = kW 0 (s)/s u ,
де W 0 (0) = 1, то система називається астатической з астатизмом u-го порядку.
Як випливає з критерію Найквіста, на стійкість замкнутої системи впливає не конкретний вид амплітудно-фазової частотної характеристики її розімкнутої системи, а тільки те, скільки разів вона охоплює точку (-1, j0). Це можна встановити за кількістю переходів (перетинань) амплітудно-фазової частотної характеристики відрізка (- ВҐ, -1) дійсній осі [лівіше точки (-1; j0)].
Дамо визначення:
Позитивний перехід (при зростанні частоти) - перехід АФЧХ відрізка (- ВҐ, -1) зверху вниз.
Негативний перехід - це перехід АФЧХ відрізка (- ВҐ, -1) знизу вгору (рис. 4, а).
Те, скільки разів АФЧХ охоплює точку (-1, j0) у позитивному напрямку, дорівнює різниці між числами позитивних і негативних переходів на відрізку (- ВҐ, -1). p> Тому критерій Найквіста можна сформулювати також таким чином: для того щоб замкнута система була стійка, необхідно і достатньо, щоб різниця між числами позитивних і негативних переходів амплітудно-фазової частотної характеристики розімкнутої системи відрізка (- ВҐ, -1) дорівнювала l/2 (L - число правих коренів характеристичного рівняння розімкнутої системи).
Використовуючи зв'язок між амплітудно-фазової частотної характеристикою і логарифмическими частотними характеристиками, на основі критерію Найквіста неважко сформулювати логарифмічний частотний критерій стійкості.
При перетині амплітудно-фазової частотної характеристики відрізка (- ВҐ, -1) А (w )> 1 або L (w ) = 20 lq А (w)> 0 амплітудно-фазової частотної і
j (w ) = - (2i + 1) p, i = 0, 1, ... . <В
Рис. 4 Схема для формулювання логарифмічного частотного критерію
Логарифмічний частотний критерій: Для того щоб замкнута система була стійка, необхідно і достатньо, щоб різниця між числами позитивних і негативних переходів логарифмічною фазовою частотною характеристики розімкнутої системи прямих j (W) = - (2i + 1) p, (i = 0, 1, ...) при частотах, при яких L (w)> 0 (логарифмічна амплітудна частотна характеристика позитивна), дорівнювала l/2 (l - число правих коренів характеристичного рівняння розімкнутої системи).
Позитивний перехід ЛФЧХ - це перетин ЛФЧХ прямий j = - (2i + 1) p знизу вгору, негативний - зверху вниз (Рис. 4, б, в). p> Стійкість систем з запізненням . Якщо система містить ланка чистого запізнювання, включеного послідовно з її іншою частиною, то передавальна функція розімкнутої системи має вигляд
W (s) = W 0 (s) e s t = P (s) e -s t /Q (s).
Наявність запізнілого ланки не впливає на характеристичне рівняння Q (l) = 0 і відповідно на стійкість розімкнутої системи. Характеристичне рівняння замкнутої системи Q (l) + P (l) e - l t = 0 стає трансцендентним і до нього безпосередньо не можна застосувати алгебраї...
