амінимо одне з рівнянь системи (1), наприклад найперше, рівнянням 3х = 33. Отримаємо систему:
В
Система (2) рівносильна системі (1). Вирішимо систему (2). З рівняння 3х = 33 знаходимо, що х = 11. Підставивши це значення х у рівняння х-3У = 38, отримаємо рівняння зі змінною в:
Вирішимо це рівняння:
II-Зу = 38.
3У = 27, у = - 9.
Пара (11; - 9) - рішення системи (2), а значить, і даної системи (1).
Скориставшись тим, що в рівняннях системи (1) коефіцієнти при у є протилежними числами, ми звели її рішення до вирішення рівносильній системи (2), в якій одне з рівнянь містить тільки одну змінну.
Геометрично равносильность систем (1) і (2) означає, що графіки рівнянь 2х +3 у = - 5 і х-3У = 38 перетинаються.
Головна проблема при вирішенні системи лінійних рівнянь способом підстановки в учнів це?
1) не вміння, підставити вже отриману змінну (не бачать)
Проаналізувавши основні проблеми рішення лінійних систем рівнянь з двома змінними, можна зробити висновок:
Головна проблема при вирішенні систем лінійних рівнянь різними способами в учнів це?
не вміння, висловлювати одну змінну через іншу. (У трьох випадках)
не вміння, підставити вже отриману змінну (у двох випадках)
І обидві ці проблеми зустрічаються при вирішенні лінійних систем рівнянь способом підстановки.
Чому я вирішив проводити дослідження в цій галузі?
Проаналізувавши основні проблеми рішення лінійних систем рівнянь з двома змінними, можна зробити висновок.
Головна проблема при вирішенні систем лінійних рівнянь різними способами в учнів це?
не вміння, висловлювати одну змінну через іншу. (У трьох випадках)
не вміння, підставити вже отриману змінну (у двох випадках)
І обидві ці проблеми зустрічаються при вирішенні лінійних систем рівнянь способом підстановки.
Крім цього, рішення задач складанням систем рівнянь, по фізиці, алгебрі, геометрії та хімії для таких учнів залишаться недоступними. Тому я вирішив, зайнятися, пошуком більш раціонального способу розв'язання систем лінійних рівнянь з двома змінними - методом підстановки.
Я вважаю, що моя робота, в цьому напрямку дуже актуальна.
Глава 1. Мета дослідження
1. Знайти більш раціональний спосіб розв'язання систем лінійних рівнянь з двома змінними - методом підстановки.
З історії рішення системи рівнянь, яка містить одне рівняння другого ступеня і одне лінійне в давньовавілонських текстах, написаних у III-II тисячоліттях до н.е., міститься чимало завдань, що вирішуються за допомогою складання систем рівнянь, в які входять і рівняння другого ступеня.
Задача 1 "Площі двох своїх квадратів я склав:. Сторона другого квадрата дорівнює боку першого і ще 5 ". p> Відповідна система рівнянь в сучасній запису має вид:
В
Для рішення системи (1) вавилонський автор зводить у другому рівнянні у в квадрат і згідно з формулою квадрата суми, яка йому, мабуть, була відома, отримує:
В
Підставляючи це значення у в перше з системи рівнянь (1), автор приходить до квадратного рівняння:
В
Вирішуючи це рівняння за правилом, вживаному нами в Нині, автор знаходить х, після чого визначає у. Отже, хоча вавілоняни і не мали алгебраїчної символіки, вони вирішували завдання алгебраїчним методом.
Діофант, який не мав позначень для багатьох невідомих, докладав чимало зусиль для вибору невідомого таким чином, щоб звести рішення системи до вирішення одного рівняння. Ось один приклад з його "Арифметики". p> Завдання 2. "Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а сума їх квадратів - 208 ".
Це завдання ми вирішили б шляхом складання системи рівнянь:
В
Діофант ж, обираючи як невідомого половину різниці шуканих чисел, отримує (у сучасних позначеннях):
В
Складаючи ці рівняння, а потім віднімаючи одне з іншого (все це Діофант виробляє усно), отримуємо
x = 2 + 10; у = 10 - 2. Далі, х 2 + У 2 = ( г + lO) 2 + (10 - г) 2 == 2 z 2 + 200 . br/>
Таким чином,
2 z 2 + 200 = 208,
Звідки
z = 2; х = 2 + 10 = 12; у = 10 - 2 = 8.
У пошуках різних рішень я виявив наступне.
Основні методи вирішення раціональних рівнянь.
1) Найпростіші: вирішуються шляхом звичайних спрощень - приведення до спільного знаменника, приведення подібних членів і так далі. Квадратні рівняння ax 2 + bx + c = 0 вирішуються по виведеної нами формулою
В
Також використовується теорема Вієта:
x
