> 1 + x 2 = - B/a; x 1 x 2 = c/a. br/>
2) Угруповання: шляхом угруповання доданків, застосування формул скороченого множення привести (якщо вдасться) рівняння до виду, коли ліворуч записано твір кількох співмножників, а праворуч - нуль. Потім прирівнюємо до нуля кожен із співмножників.
3) Підстановка: шукаємо в рівнянні деяке повторювана вираз, який позначимо нової змінної, тим самим спрощуючи вид рівняння. У деяких випадках очевидно що зручно позначити. Наприклад, рівняння (x 2 + x - 5)/x + 3x/(x 2 + x - 5) + 4 = 0, легко вирішується за допомогою підстановки (x 2 + X - 5)/x = T, отримуємо t + (3/t) + 4 = 0. Або: 21/(x 2 - 4x + 10) - x 2 + 4x = 6. Тут можна зробити підстановку x 2 - 4 = t. Тоді 21/(t + 10) - t = 6 і т.д.
У складніших випадках підстановка видно лише після кількох перетворень. Наприклад, дано рівняння
(x 2 + 2x) 2 - (x +1) 2 = 55.
Переписавши його інакше, а саме (x 2 + 2x) 2 - (x 2 + 2x + 1) = 55, відразу побачимо підстановку x 2 + 2x = t. p> Маємо t 2 - t - 56 = 0, t 1 = - 7, t 2 = 8. Залишилося вирішити x 2 + 2x = - 7 і x 2 + 2x = 8. У ряді інших випадків зручну підстановку бажано знати "заздалегідь". Наприклад
1) Рівняння (x + a) 4 + (x + b) 4 = C зводиться до біквадратне, якщо зробити підстановку
x = t - (a + b)/2. br/>
2) симметрическую рівняння (поворотне) a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0 (коефіцієнти членів, равностоящих від кінців, рівні) вирішується за допомогою підстановки x + 1/x = t, якщо n - парне; якщо n - непарне, то рівняння має корінь x = - 1. p> 3) Рівняння виду (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = l зводиться до квадратного, якщо a + b = c + d і т.д.
4) Підбір: під час вирішення рівнянь вищих ступенів раціональні корені рівняння a n x n + A n - 1 x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0 шукаємо у вигляді p/q, де p - дільник a 0 , q - дільник a n , p і q взаємно прості, pГЋZ, qГЋN.
5) "Мистецтво", тобто вирішувати приклад нестандартно, придумати "Свій метод", здогадатися щось додати і відняти, виділити повний квадрат, на щось розділити і помножити і т.д.
6) Рівняння з модулем: при вирішенні рівнянь з модулем використовується визначення модуля і метод інтервалів. Нагадаємо, що
f (x), якщо f (x) Ві 0, | f (x) | =
f (x), якщо f (x) <0.
Це вже вивчені методи і широко застосовуються в практичній математиці. Виділені жирним курсивом - це методи мною досліджувані 5) "Мистецтво", - Це те, що мені належить знайти. p> Хотілося б зупиниться на деяких з них.
Метод Гаусса.
Нехай дана система лінійних рівнянь
(1)
Коефіцієнти a 11, 12, ..., a 1n, ..., a n1, b 2, ..., b n вважаються заданими. Вектор - Рядок Г x 1, x 2, ..., x n ГЅ - називається рішенням системи (1), якщо при підстановці цих чисел замість змінних всі рівняння системи (1) звертаються у вірне рівність.
Визначник n-го порядка D = Г§ A ГЄ = Г§ a ij Г§, складений з коефіцієнтів при невідомих, називається визначником системи (1). Залежно від визначника системи (1) розрізняють такі випадки.
a). Якщо D В№ 0, то система (1) має єдине рішення, яке може бути знайдено методом Гаусса. б). Якщо D = 0, то система (1) або має нескінченну безліч рішень, або несовместна, тобто рішень немає.
1. Розглянемо систему 3-х лінійних рівнянь з трьома невідомими.
(2).
Метод Гаусса рішення системи (2) полягає в наступному: Розділимо всі члени першого рівняння на, а потім, помноживши отримане рівняння на, віднімемо його відповідно з другого і третього рівнянь системи (2). Тоді з другого і третього рівнянь невідоме буде виключено, і вийти система виду:
(3)
Тепер розділимо друге рівняння системи (3) на, помножимо отримане рівняння на і віднімемо з третього рівняння. Тоді з третього рівняння невідоме буде виключено і вийти система трикутного види:
(4)
З останнього рівняння системи (4) знаходимо, підставляючи знайдене
підставляючи знайдене значення в перше рівняння, знаходимо.
Методом Гауса розв'язати систему:
В
Рішення: Розділивши рівняння (а) на 2, отримаємо систему
В
Віднімемо з рівняння (b) рівняння, помножене ...
