о приписування кінцевого числа членів.
Теорема (необхідний ознака збіжності) Якщо ряд сходиться, то межа його загального члена прагне до нуля, тобто
.
Теорема (ознака порівняння). Нехай (1) і (2) - ряди з додатними членами, причому члени першого ряду не перевершують членів другого, тобто при будь-якому
.
Тоді а) якщо сходиться ряд (2), то сходиться і ряд (1)
б) якщо розходиться ряд (1), то розходиться і ряд (2).
Теорема (граничний ознака порівняння). Нехай (1) і (2) - ряди з позитивними членами і існує кінцевий межа відносини їх загальних членів, то ряди одночасно сходяться, або розходяться.
Теорема (ознака Даламбера). Нехай дано ряд (1) з позитивними членами і існує межа
.
Тоді, якщо, то ряд сходиться; якщо, то ряд розходиться; якщо, то питання про збіжність ряду залишається невирішеним.
Ряди з членами довільного знака
Знакозмінні ряди. Під Знакозмінні поруч розуміється ряд в якому члени поперемінно то позитивні то негативні
Теорема. (Ознака Лейбніца). Якщо члени Знакозмінні ряду убувають за абсолютною величиною і межа його загального члена при дорівнює нулю, ряд сходиться, а його сума не перевершує першого члена.
Якщо ряд, складений з абсолютних величин членів даного ряду (1) сходиться, то сходиться і даний ряд.
Ряд називається умовно збіжним, якщо сам ряд сходиться, а ряд, складений з абсолютних величин його членів, розходиться.
Ряд називається абсолютно збіжним, якщо сходиться як сам ряд, так і ряд, складений з абсолютних величин його членів.
Статечним рядом називається ряд виду
(3)
Сукупність тих значень, при яких статечної ряд (3) сходиться, називається областю збіжності степеневого ряду.
Теорема Абеля. 1). Якщо степеневий ряд сходиться при значенні (відмінному від нуля), то він сходиться і, притому абсолютно, при всіх значеннях таких, що. 2). Якщо степеневий ряд розходиться при, то він розходиться при всіх значеннях таких, що.
1. , p> 2. . br/>
Тоді областю збіжності степеневого ряду буде інтервал.
На будь-якому відрізку, цілком належить інтервалу збіжності, функція є безперервною, а отже, статечної ряд можна почленно інтегрувати на цьому відрізку.
Крім того, в інтервалі збіжності статечної ряд можна почленно диференціювати. При цьому після інтегрування або диференціювання отримані ряди мають той же радіус збіжності.
Мають місце наступні розкладання елементарних функцій.
В В В
Випадкові події
Основні питання лекції: випадкові події; випадкові величини, описовий підхід до поняття випадкової величини, дискретні випадкові величини, випадкові величини загального вигляду, функція розподілу, розподіл випадкових велічіниі числові характеристики.
Числові характеристики випадкових величин
Розглянемо основні характеристики дискретної випадкової величини при кінцевому числі значень.
Кожному значенням дискретної випадкової величини відповідає його ймовірність. Як зазначалося вище, послідовність таких пар утворює ряд розподілу дискретної випадкової величини:
В
де, , I = +1, ..., n,. p> Якщо випадкова дискретна величина є випадковою альтернативної величиною, тобто задається двома значеннями 0 і 1 і відповідними їм ймовірностями фіналів q = 1 - ри р, те ряд розподілу приймає форму:
,
де 0 ≤ p ≤ 1, p + q = 1.
На основі ряду розподілу можна визначити середнє значення випадкової дискретної величини як міру, яка об'єднує значення випадкової дискретної величини і їх ймовірності. Середнє значення є зважена середня всіх можливих значень випадкової величини, роль ваг (частот) відіграють ймовірності.
Очікуване середнє значення випадкової величини називається математичним очікуванням М (Х) (оцінкою, яку очікують отримати).
Математичне очікування випадкової дискретної величини X (тобто приймаючої тільки кінцеве або рахункове безліч значень x1, x2, ..., хп відповідно з ймовірностями р1, p2, ..., рп) дорівнює сумі творів значень випадкової величини на відповідні їм ймовірності:
. (1)
Властивості математичного сподівання випадкової дискретної величини
Математичне очікування випадкової дискретної величини має такі властивості:
1. M (C) = С,
де С - постійна величина.
2. М (С В· Х) = С В· М (Х),
де С - постійна величина.
3. М (Х1 В± Х2 В± ... В± Хn) = М (Х1) В± М (Х2) В± ... В± М (Хn). (2)
4. Для кінцевого числа пнезавісімих випадкових величин:
М (Х1 в€™ Х2 в€™ ... в€™ Хn) = М (Х1) в€™ М (Х2) в€™ ... в€™ М (Хn). (3)
5. М (Х-C) = М (Х) - C.
Слідство. Математичне очікування відхилення значень випадкової величини X від її...
