2) Функція, що реалізує явний метод Ейлера, повертає вектор розв'язку:
В В
Вхідні параметри:
f - функція правої частини;
y0 - початкове значення; - початкова точка відрізка; - крок сітки; - число вузлів сітки.
В
3) Наближене рішення задачі Коші з кроком h = 0.1 за методом Рунге-Кутта 4 порядку точності за допомогою вбудованої функції rkfixed пакета MATHCAD.
В В
Функція rkfixed повертає матрицю, перший стовпець якої містить вузли сітки, а другий - наближене рішення в цих вузлах.
4) Аналітичне рішення задачі:
В
,
,
,
= ,
,
В
За методом варіації довільної сталої замінимо постійну С на функцію C (t) і вирішимо неоднорідне рівняння:
В В
Підставляємо у вихідне рівняння:
В
= ,
В
,
В
Рішення в MathCad:
В В В В
В
5) Рішення, отримані різними способами:
Метод Ейлера:
Метод Рунге-Кутта:
Точне рішення:
В
Графіки наближених і точного рішень:
В
6) Розрахуємо похибка отриманих наближених рішень:
Похибка методу Ейлера:
В В
Обчислення похибки за правилом Рунге:
Обчислення наближених рішень з кроком h/2:
В В В В В
Обчислення похибок:
В В В
Значення похибок:
В В
7) Проведемо серію обчислень рішення за методом Ейлера, дробивши крок h навпіл.
В
Перша ітерація:
В В В В В В В В В
Друга ітерація:
В В В В В В В В В
Третя ітерація:
В В В В В В В В В
І т.д.
Дев'ята ітерація:
В В В В В В В В В
При значенні кроку hd = h/1024 = 0.1/1024 = 0,0000977 рішення, отримане за методом Ейлера, буде мати приблизно таку ж похибка...
